《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根 $x_{1},x_{2}$ 与系数 $a,b,c$ 之间的关系是 $x_{1}+x_{2}= $$-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= $$\dfrac{c}{a}$。

答案： $-\dfrac{b}{a}$ $\dfrac{c}{a}$

1. 若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x-3 = 0$ 的两个根,则 $x_{1}x_{2}$ 的值是(D)
A.$2$
B.$-2$
C.$4$
D.$-3$

答案： D

2. 一元二次方程 $3x^{2}-1 = 2x+5$ 两实根的和与积分别是(B)
A.$\frac{3}{2},-2$
B.$\frac{2}{3},-2$
C.$-\frac{2}{3},2$
D.$-\frac{3}{2},2$

答案： B

3. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x-k - 1 = 0$ 的两根,且 $x_{1}x_{2}= -3$,则 $k$ 的值为(B)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： B

4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x-2m + 1 = 0$ 的两实数根之积为负数,则实数 $m$ 的取值范围是 $m＞\dfrac{1}{2}$。

答案： $m＞\dfrac{1}{2}$

5. 已知 $x = -1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx+3 = 0$ 的一个根,则该方程的另一个根是 -3,$m= $4。

答案： -3 4

【例 1】设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $2x^{2}-5x+6 = 0$ 的两根,求 $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$ 的值。

答案： 分析 先把 $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$ 化成含 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的形式,再利用一元二次方程根与系数的关系求解。
解 $\because x_{1}+x_{2}= \frac{5}{2},x_{1}x_{2}= 3$,
$\therefore \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}= \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{(x_{1}x_{2})^{2}}= \frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^{2}}= \frac{(\frac{5}{2})^{2}-2×3}{9}= \frac{1}{36}$。

【例 2】已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(k + 1)x+k^{2}-3 = 0$ 的两实根,且 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 8$,求 $k$ 的值。

答案： 分析 根据一元二次方程的根与系数的关系,知 $x_{1}+x_{2}= 2(k + 1),x_{1}x_{2}= k^{2}-3$,代入 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 8$,即 $x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1 = 8$ 中,可得到关于 $k$ 的方程,求出 $k$ 的值,再根据 $\Delta$ 与 $0$ 的关系舍去不合理的 $k$ 值。
解 依题意知 $x_{1}+x_{2}= 2(k + 1)= 2k + 2$,$x_{1}x_{2}= k^{2}-3$。由 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 8$,得 $x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1 = 8$,得 $k^{2}-3+2k + 2+1 = 8$,即 $k^{2}+2k - 8 = 0$,
解得 $k_{1}= 2,k_{2}= -4$。而 $\Delta=[-2(k + 1)]^{2}-4(k^{2}-3)\geq0$,所以 $k\geq-2$。所以 $k = 2$。