《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 对于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $,
(1)它的图象是一条抛物线。
(2)对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$,顶点坐标是($-\dfrac{b}{2a}$,$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$)。
(3)①当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点。在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；②当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： $1.(1)$抛物线$ (2)x=-\dfrac{b}{2a} -\dfrac{b}{2a} \dfrac{4ac-b^{2}}{4a} (3)①$上$ $低$ $减小$ $增大$ ②$下$ $高$ $增大$ $减小

2. 求二次函数的解析式 $ y = ax^2 + bx + c $,需求出______的值。由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于______的方程组,并求出______的值,就可以写出二次函数的解析式。

答案： $ 2.a,b,c a,b,c a,b,c$　　

1. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $($ m $ 是常数)的顶点在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

2. 某一抛物线如图所示,根据图象可知,该抛物线的解析式可能是(D)

A.$ y = x^2 - x - 2 $
B.$ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 $
C.$ y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1 $
D.$ y = -x^2 + x + 2 $

答案： D

3. 把二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - x + 3 $ 用配方法化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式为$y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^{2}+4$。

答案： $y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^{2}+4$

4. 已知抛物线 $ y = x^2 + bx + 3 $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $,则 $ b = $-4。

答案： -4

5. 二次函数 $ y = x^2 + 4x - 3 $ 的最小值为-7。

答案： -7

1. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与性质
【例 1】二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象的一部分如右图所示,已知它的顶点 $ M $ 在第二象限,且经过点 $ A(1,0) $ 和点 $ B(0,1) $。

(1)求实数 $ a $ 的取值范围；
(2)设此二次函数的图象与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ C $,当 $ \triangle AMC $ 的面积为 $ \triangle ABC $ 面积的 $ \frac{5}{4} $ 倍时,求 $ a $ 的值。

答案：
解：
(1)由图象可知,抛物线过点 $ B(0,1) $,$ A(1,0) $,将 $ (0,1) $,$ (1,0) $ 代入 $ y = ax^2 + bx + c $,得 $ c = 1 $,$ a + b + c = 0 $,所以 $ b = -(a + 1) $。
因为抛物线的顶点在第二象限,所以 $ -\frac{b}{2a} ＜ 0 $。
又因为 $ b = -(a + 1) $,所以 $ -\frac{-(a + 1)}{2a} ＜ 0 $。
所以 $ -1 ＜ a ＜ 0 $。
(2)过点 $ M $ 作 $ MD \perp x $ 轴,垂足为 $ D $,

因为 $ \triangle AMC $ 与 $ \triangle ABC $ 同底,则 $ MD = \frac{5}{4}OB = \frac{5}{4} $,
即 $ \frac{4a - b^2}{4a} = \frac{5}{4} $,所以 $ 4a - b^2 = 5a $。
所以 $ 4a - (a + 1)^2 = 5a $。所以 $ a = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} $。
因为 $ -1 ＜ a ＜ 0 $,所以 $ a = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} $。