《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

9. 一名在校大学生利用“互联网 $ + $”自主创业销售一种产品,这种产品的成本价为 $ 10 $ 元/件,已知销售价不低于成本价,且生产商规定这种产品的销售价不高于 $ 16 $ 元/件。市场调查发现,该产品每天的销售量 $ y $(单位：件)与销售价 $ x $(单位：元/件)之间的函数关系图象如图所示。

(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)求每天的销售利润 $ W $(单位：元)与销售价 $ x $(单位：元/件)之间的函数解析式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？

答案： 解
(1)设y与x的函数解析式为$y = kx + b$，将(10,30)，(16,24)代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}10k + b = 30\\16k + b = 24\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 40\end{cases}$。故y与x的函数解析式为$y = -x + 40(10\leqslant x\leqslant16)$。
(2)$W = (x - 10)y = (x - 10)(-x + 40)=-x^{2}+50x - 400 = -(x - 25)^{2}+225$，$∵a = -1＜0$，$∴$当$x＜25$时，W随x的增大而增大。$∵10\leqslant x\leqslant16$，$∴$当$x = 16$时，W取得最大值，最大值为144。$∴$每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元。

★10. 某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为 $ 18 $ 元,试销过程中发现,每月销售量 $ y $(单位：万件)与销售单价 $ x $(单位：元)之间的关系可以近似地看作一次函数 $ y = -2x + 100 $。(利润 $ = $ 售价 $ - $ 制造成本)
(1)写出每月的利润 $ z $(单位：万元)与销售单价 $ x $(单位：元)之间的函数解析式。
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 $ 350 $ 万元的利润？当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于 $ 32 $ 元,如果厂商要获得每月不低于 $ 350 $ 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

答案： 解
(1)设$z$与$x$的函数关系为$z=(x - 18)y=(x - 18)(-2x + 100)=-2x^{2}+136x - 1800$，所以$z$与$x$之间的函数解析式为$z=-2x^{2}+136x - 1800$。
(2)由$z = 350$，得$350 = -2x^{2}+136x - 1800$，解这个方程得$x_1 = 25$，$x_2 = 43$。所以销售单价定为25元或43元。将$z = -2x^{2}+136x - 1800$配方，得$z = -2(x - 34)^{2}+512$，因此，当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元。
(3)结合
(2)及函数$z = -2x^{2}+136x - 1800$的图象(如图)可知，当$25\leqslant x\leqslant43$时，$z\geqslant350$。又由这种电子产品的销售单价不能高于32元，得$25\leqslant x\leqslant32$。根据一次函数的性质，得$y = -2x + 100$中y随x的增大而减小，所以当$x = 32$时，每月制造成本最低。最低成本是$18×(-2×32 + 100)=648$(万元)，即所求每月最低制造成本为648万元。