《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

正方形的面积
【例】如图,要设计一幅宽是 $ 20 \, cm $,长是 $ 30 \, cm $ 的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 $ 2:3 $,如果要使彩条所占面积是图案面积的 $ \frac{9}{25} $,那么该如何设计彩条的宽度？

答案： 分析 设横彩条的宽度是 $ 2x \, cm $,则竖彩条的宽度是 $ 3x \, cm $,根据设计的图案宽是 $ 20 \, cm $,长是 $ 30 \, cm $,其中有两横两竖的彩条,彩条所占面积是图案面积的 $ \frac{9}{25} $,列出方程求解。
解 设横彩条的宽度是 $ 2x \, cm $,则竖彩条的宽度是 $ 3x \, cm $。根据题意可得 $ (30 - 6x)(20 - 4x) = \left(1 - \frac{9}{25}\right) × 20 × 30 $,解得 $ x_1 = 1 $,$ x_2 = 9 $。
$ \because 4 × 9 = 36 ＞ 20 $,
$ \therefore x = 9 $ 舍去。
$ \therefore $ 横彩条的宽度是 $ 2 \, cm $,竖彩条的宽度是 $ 3 \, cm $。

1. 某公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了 $ 1 \, m $,另一边减少了 $ 2 \, m $,剩余空地的面积为 $ 18 \, m^2 $,求原正方形的边长。设原正方形空地的边长为 $ x \, m $,则列方程为(C)

A.$ (x + 1)(x + 2) = 18 $
B.$ x^2 - 3x + 16 = 0 $
C.$ (x - 1)(x - 2) = 18 $
D.$ x^2 + 3x + 16 = 0 $

答案： C

2. 某校进行体操队列训练,原有 $ 8 $ 行 $ 10 $ 列,后增加 $ 40 $ 人,使得队伍增加的行数、列数相同,你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了 $ x $ 行或列,则列方程得(D)
A.$ (8 - x)(10 - x) = 8 × 10 - 40 $
B.$ (8 - x)(10 - x) = 8 × 10 + 40 $
C.$ (8 + x)(10 + x) = 8 × 10 - 40 $
D.$ (8 + x)(10 + x) = 8 × 10 + 40 $

答案： D

3. 如图,某小区计划在一块长为 $ 32 \, m $,宽为 $ 20 \, m $ 的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为 $ 570 \, m^2 $。若设道路的宽为 $ x \, m $,则下面所列方程正确的是(A)

A.$ (32 - 2x)(20 - x) = 570 $
B.$ 32x + 2 × 20x = 32 × 20 - 570 $
C.$ (32 - x)(20 - x) = 32 × 20 - 570 $
D.$ 32x + 2 × 20x - 2x^2 = 570 $

答案： A

4. 如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 $ 1 \, m $ 的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为 $ 15 \, m^3 $ 的无盖长方体箱子,且此长方体箱子底面的长比宽多 $ 2 \, m $,现已知购买这种铁皮每平方米需 $ 20 $ 元钱,算一下张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？

答案： 解 设这种长方体箱子底部宽为x m,则长为(x+2)m.依题意,有x(x+2)×1=15.整理,得x²+2x-15=0,解得x₁=-5(舍去),x₂=3,所以x+2=5.由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为(5+2)×(3+2)=35(m²).因此张大叔购回这张矩形铁皮共花了35×20=700(元).