《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

9. 已知一元二次方程 $x^{2}+3x - 4 = 0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}= $ 13。

答案： 13

10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x - k^{2}= 0$($k$ 为常数)。
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设 $x_{1},x_{2}$ 为方程的两个不相等的实数根,且 $x_{1}+2x_{2}= 14$,试求出方程的两个实数根和 $k$ 的值。

答案：
(1)证明 $b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4× 1× (-k^{2})=36+4k^{2}＞0$,因此方程有两个不相等的实数根.
(2)解 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-6}{1}=6$,又$x_{1}+2x_{2}=14$,解方程组$\left\lbrace\begin{align}&x_{1}+x_{2}=6, \cr&x_{1}+2x_{2}=14, \end{align}\right.$可得$\left\lbrace\begin{align}&x_{1}=-2, \cr&x_{2}=8. \end{align}\right.$(方法1)将$x_{1}=-2$代入原方程,得$(-2)^{2}-6× (-2)-k^{2}=0$,解得$k=\pm 4$.(方法2)将$x_{1}$和$x_{2}$代入$x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$,得$-2× 8=\dfrac{-k^{2}}{1}$,解得$k=\pm 4$.

★11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x+(2m + 1)= 0$ 有实数根。
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$,且 $2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}\geq20$,求 $m$ 的取值范围。

答案： 解
(1)$\because$方程$x^{2}-6x+(2m+1)=0$有实数根,$\therefore \Delta =(-6)^{2}-4(2m+1)\geqslant 0$,化简得$32-8m\geqslant 0$,解不等式得$m\leqslant 4$.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=6$,$x_{1}x_{2}=2m+1$.$\because 2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}\geqslant 20$,$\therefore 2(2m+1)+6\geqslant 20$,解不等式得$m\geqslant 3$,由
(1)得$m\leqslant 4$,$\therefore m$的取值范围是$3\leqslant m\leqslant 4$.

增长率问题：增长率是指增长数与基准数的比,即增长率=增长数/基准数。设基准数为$a$,平均增长率为$x$,则第一次增长后的值为$a(1+x)$,连续两次增长后的值为$a(1+x)^{2}$。

答案： 增长率=增长数/基准数 $a(1+x)$ $a(1+x)^{2}$

1. 共享单车为市民出行带来了方便. 某单车公司第一个月投放$1000$辆单车,计划第三个月投放单车数量比第一个月多$440$辆. 设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为$x$,则所列方程正确的为(A)
A.$1000(1 + x)^2 = 1000 + 440$
B.$1000(1 + x)^2 = 440$
C.$440(1 + x)^2 = 1000$
D.$1000(1 + 2x) = 1000 + 440$

答案： A

2. 某种衬衣原价$150$元,连续两次降价$a\%后的售价为96$元. 下面所列方程中正确的是(B)
A.$150(1 + a\%)^2 = 96$
B.$150(1 - a\%)^2 = 96$
C.$150(1 - 2a\%) = 96$
D.$150(1 - a^2\%) = 96$

答案： B

3. 某生物兴趣小组的同学将自己制作的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了$182$件,则该兴趣小组共有(C)名同学.
A.$12$
B.$13$
C.$14$
D.$15$

答案： C