《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 3$,$AC = \frac{9}{4}$,点$D是BC$边上的一点,$AD = BD = 2DC$,设$\triangle ABD与\triangle ACD的内切圆半径分别为r_1$,$r_2$,则$\frac{r_1}{r_2} = $(C)

A.$2$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： C

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$AB = 5$,$D为BC$边的中点,以$AD上一点O为圆心的\odot O和AB$,$BC$均相切,则$\odot O$的半径为$\frac{6}{7}$.

答案： $\frac{6}{7}$

10. 如图,$AB为\odot O$的直径,$PQ与\odot O相切于点T$,$AC\perp PQ$,且垂足为$C$,交$\odot O于点D$.
(1)求证：$AT平分\angle BAC$；
(2)若$AD = 2$,$TC = \sqrt{3}$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明 如图，连接OT.

∵PQ与⊙O相切于点T，
∴OT⊥PQ.
又AC⊥PQ，
∴OT//AC，∠TAC=∠ATO.
又OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC.
(2)解 过点O作OM⊥AC，垂足为M，
∴AM=MD=$\frac{AD}{2}$=1.
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，OM=TC=$\sqrt{3}$.
在Rt△AOM中，
AO=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{3 + 1}$=2，
即⊙O的半径为2.

★11. 阅读下列材料并回答问题.
材料：如果一个三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,记$p = \frac{a + b + c}{2}$,那么三角形的面积为$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$. ①
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元$50$年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名. 他在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式. 我国南宋数学家秦九韶(约$1202$ — 约$1261$),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式$S = \sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2b^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}\right)^2\right]}$. ②
下面我们对公式②进行变形：
$\begin{aligned}&\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2b^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}\right)^2\right]}\\=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}ab\right)^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{4}\right)^2}\\=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}ab + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4}\right)\left(\frac{1}{2}ab - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4}\right)}\\=&\sqrt{\frac{2ab + a^2 + b^2 - c^2}{4} \cdot \frac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{4}}\\=&\sqrt{\frac{(a + b)^2 - c^2}{4} \cdot \frac{c^2 - (a - b)^2}{4}}\\=&\sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} \cdot \frac{a + c - b}{2} \cdot \frac{b + c - a}{2}}\\=&\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.\end{aligned} $
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
问题：如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 13$,$BC = 12$,$AC = 7$,$\odot O内切于\triangle ABC$,切点分别是$D$,$E$,$F$.

(1)求$\triangle ABC$的面积；
(2)求$\odot O$的半径.

答案：

(1)解 p=$\frac{AB+BC+AC}{2}$=$\frac{13+12+7}{2}$=16，
${S}_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}$
=$\sqrt{16×(16 - 13)×(16 - 12)×(16 - 7)}$
=$\sqrt{16×3×4×9}$
=24$\sqrt{3}$.
(2)连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，

∵⊙O内切△ABC于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
设⊙O的半径为r，
∵${S}_{\triangle ABC}={S}_{\triangle ABO}+{S}_{\triangle BCO}+{S}_{\triangle ACO}$，
∴${S}_{\triangle ABC}=\frac{AB·r}{2}+\frac{BC·r}{2}+\frac{AC·r}{2}$.
∴$\frac{13r}{2}+\frac{12r}{2}+\frac{7r}{2}$=24$\sqrt{3}$
∴r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$