《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

14. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$,且$a$,$b$,$c满足\sqrt{a - 1}+(b - 2)^{2}+\vert a + b + c\vert = 0$,求满足条件的一元二次方程的一般形式。

答案： 解 由 $\sqrt{a-1}+(b-2)²+|a+b+c|=0$，得{a-1=0,b-2=0,a+b+c=0,解得{a=1,b=2,c=-3.故所求方程的一般形式为x²+2x-3=0.

15. 已知$m$,$n是方程x^{2}+3021x - 3022 = 0$的两根,试求代数式$(m^{2}+3021m - 3021)\cdot(n^{2}+3021n + 1)$的值。

答案： 解
∵m,n是方程x²+3021x-3022=0的两根，
∴m²+3021m-3022=0,n²+3021n-3022=0.
∴m²+3021m=3022,n²+3021n=3022.
∴原式=(3022-3021)×(3022+1)=3023.

★16. 某教学资料中出现了一道这样的题目：把方程$\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。现在把上面的题目改编成下面的两道小题,请回答问题：
(1)下列式子中有哪些是方程$\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$化为一元二次方程的一般形式？___。(填序号)
①$\frac{1}{2}x^{2}-x - 2 = 0$,②$-\frac{1}{2}x^{2}+x + 2 = 0$,③$x^{2}-2x = 4$,④$-x^{2}+2x + 4 = 0$,⑤$\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}= 0$。
(2)方程$\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具有什么关系？
(1)①②④⑤
(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a、常数项为-4a(或者说:这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1:(-2):(-4)).

答案：
(1)①②④⑤
(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a、常数项为-4a(或者说:这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1:(-2):(-4)).