《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

一般地,抛物线 $ y = ax^2 + k (a \neq 0) $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状相同,位置不同,把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上或向下平移,可以得到抛物线 $ y = ax^2 + k $。抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的顶点坐标是$(0,k)$,对称轴是y轴,当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线开口向上,顶点是它的最低点,在对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线开口向下,顶点是它的最高点,在对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 相同 $(0,k)$ y轴 上 低 减小 增大 下 高 增大 减小

1. 将抛物线 $ y = x^2 $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度后,所得的抛物线的函数解析式为(A)
A.$ y = x^2 + 2 $
B.$ y = x^2 - 2 $
C.$ y = (x + 2)^2 $
D.$ y = (x - 2)^2 $

答案： A

2. 已知二次函数 $ y = 2x^2 - 3 $ 的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是(D)
A.抛物线开口向下
B.抛物线经过点 $ (2, 3) $
C.抛物线的对称轴是直线 $ x = 1 $
D.抛物线与 $ x $ 轴有两个交点

答案： D

3. 函数 $ y = 2x^2 + 1 $ 的最小值是1。

答案： 1

4. 将二次函数 $ y = 2x^2 - 1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向上平移 $ 2 $ 个单位长度,则所得图象对应的函数解析式为$y=2x^{2}+1$。

答案： $y=2x^{2}+1$

5. 函数 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + 3 $ 的图象开口向下,顶点坐标为$(0,3)$,对称轴为y轴,与 $ x $ 轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(3,0)$。

答案： 下 $(0,3)$ y轴 $(-3,0)$和$(3,0)$

【例】若抛物线 $ y = ax^2 + k $ 与 $ y = -5x^2 $ 的形状、开口方向都相同,且顶点坐标是 $ (0, 3) $,则其解析式是什么？它是由抛物线 $ y = -5x^2 $ 怎样平移得到的？

答案： 分析 根据两抛物线的形状相同、开口方向相同,可确定 $ a $ 的值,再根据顶点坐标是 $ (0, 3) $,可确定 $ k $ 的值。从而可判断平移方向。
解 因为抛物线 $ y = ax^2 + k $ 与 $ y = -5x^2 $ 的形状相同、开口方向也相同,所以 $ a = -5 $。
又因为抛物线的顶点坐标为 $ (0, 3) $,所以 $ k = 3 $。
所以其解析式为 $ y = -5x^2 + 3 $。它是由抛物线 $ y = -5x^2 $ 向上平移 $ 3 $ 个单位长度得到的。