《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

2. 用待定系数法求二次函数的解析式
【例 2】分别求符合下列条件的二次函数的解析式。
(1)抛物线过点 $ A(1,2) $,$ B(0,3) $,$ C(-1,6) $；
(2)函数图象的顶点坐标为 $ (1,2) $,且过点 $ (0,4) $。

答案： 分析：
(1)由函数的图象过点 $ B(0,3) $,可设函数解析式为 $ y = ax^2 + bx + 3 $；
(2)由于已知抛物线的顶点坐标,故可设顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $ 求解。
解：
(1)由题意知,抛物线过点 $ B(0,3) $,故设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + bx + 3 $,把 $ A(1,2) $,$ C(-1,6) $ 代入,得 $ \begin{cases} a + b + 3 = 2 \\ a - b + 3 = 6 \end{cases} $,解得 $ \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases} $。
故所求的函数解析式为 $ y = x^2 - 2x + 3 $。
(2)设二次函数的解析式为 $ y = a(x - h)^2 + k $,因为该函数图象的顶点坐标为 $ (1,2) $,所以 $ h = 1 $,$ k = 2 $。所以 $ y = a(x - 1)^2 + 2 $。
又因为函数图象过点 $ (0,4) $,所以 $ a(0 - 1)^2 + 2 = 4 $,解得 $ a = 2 $。
故所求的二次函数解析式为 $ y = 2(x - 1)^2 + 2 $,即 $ y = 2x^2 - 4x + 4 $。
解题锦囊：确定二次函数的解析式时,根据不同的条件选择合适的形式,用待定系数法进行求解。

1. 若抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 经过点 $ (-2,3) $,则 $ 2c - 4b - 9 $ 的值是(A)
A.5
B.-1
C.4
D.18

答案： A

2. 如图,函数 $ y = ax^2 - 2x + 1 $ 和 $ y = ax - a $($ a $ 是常数,且 $ a \neq 0 $)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)

答案： B

3. 若抛物线 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 不动,将平面直角坐标系先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,则原抛物线对应的函数解析式变为(C)
A.$ y = (x - 2)^2 + 3 $
B.$ y = (x - 2)^2 + 5 $
C.$ y = x^2 - 1 $
D.$ y = x^2 + 4 $

答案： C

4. 二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2} $ 的图象是由函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象先向左(左、右)平移3个单位长度,再向下(上、下)平移2个单位长度得到的。

答案： 左 3 下 2

5. 经过 $ A(4,0) $,$ B(-2,0) $,$ C(0,3) $ 三点的抛物线解析式是$y=-\dfrac{3}{8}x^{2}+\dfrac{3}{4}x+3$。

答案： $y=-\dfrac{3}{8}x^{2}+\dfrac{3}{4}x+3$