《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

6. 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①),拱高为$6\mathrm{m}$,跨度为$20\mathrm{m}$,相邻两支柱间的距离均为$5\mathrm{m}$.

(1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图②),求抛物线的解析式.
(2) 求支柱$EF$的长度.
(3) 拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽$2\mathrm{m}$的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽$2\mathrm{m}$、高$3\mathrm{m}$的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由.

答案： 解
(1)根据题目条件，点A，B，C的坐标分别是$(-10,0)$，$(10,0)$，$(0,6).$设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+c$，
将点B，C的坐标代入$y=ax^{2}+c$，
得$\left\{\begin{array}{l} c=6,\\ 100a+c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\frac {3}{50},\\ c=6.\end{array}\right. $
所以抛物线的解析式是$y=-\frac {3}{50}x^{2}+6.$
(2)可设$F(5,y_{F})$，于是$y_{F}=-\frac {3}{50}×5^{2}+6=4.5.$
从而支柱EF的长度是$10-4.5=5.5(m).$
(3)如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则点G坐标是$(7,0).$
过点G作$GH⊥AB$交抛物线于点H，则$y_{H}=-\frac {3}{50}×7^{2}+6\approx 3.06＞3.$
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

7. 如图,二次函数$y = (x - 2)^{2}+m的图象与y轴交于点C$,点$B是点C$关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数$y = kx + b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B$.

(1) 求二次函数与一次函数的解析式；
(2) 根据图象,写出满足$kx + b\geqslant(x - 2)^{2}+m的x$的取值范围.

答案： 解
(1)将点$A(1,0)$的坐标代入到$y=(x-2)^{2}+m$，
得$(1-2)^{2}+m=0$，
即$1+m=0$，$m=-1.$
所以二次函数解析式为$y=(x-2)^{2}-1.$
当$x=0$时，$y=4-1=3$，
故点C坐标为$(0,3).$
因为点C和B关于二次函数图象的对称轴对称，
所以设点B坐标为$(x,3).$
令$y=3$，有$(x-2)^{2}-1=3$，
解得$x=4$或$x=0.$
所以点B坐标为$(4,3).$
设一次函数解析式为$y=kx+b$，将点$A(1,0)$，$B(4,3)$的坐标代入$y=kx+b$，得$\left\{\begin{array}{l} k+b=0,\\ 4k+b=3,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} k=1,\\ b=-1,\end{array}\right. $
所以一次函数解析式为$y=x-1.$
(2)因为点A，B坐标分别为$(1,0)$，$(4,3)$，
所以满足$kx+b≥(x-2)^{2}+m$的x的取值范围是$1≤x≤4.$