《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

12. 小张和小林一起解方程$x(3x + 2)-6(3x + 2)=0$.小张将方程左边分解因式，得$(3x + 2)(x - 6)=0$，所以$3x + 2=0$或$x - 6=0$.方程的两个解为$x_{1}=-\frac{2}{3}$，$x_{2}=6$.小林的解法是这样的：移项，得$x(3x + 2)=6(3x + 2)$，方程两边都除以$(3x + 2)$，得$x=6$.
小林说：“我的方法多简便！”可另一个解$x_{1}=-\frac{2}{3}$哪里去了？你能解开这个谜吗？

答案： 解 小林忽略了$3x+2$可能为0的情况,等式两边不能同时除以一个等于零的整式.

★13. 阅读下面提供的内容：
已知关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$满足$a + b + c=0$，求证：它的两根分别是$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{c}{a}$.
证明：$\because a + b + c=0$，$\therefore c=-a - b$.将其代入$ax^{2}+bx + c=0$，得$ax^{2}+bx - a - b=0$，即$a(x^{2}-1)+b(x - 1)=0$，$(x - 1)(ax + a + b)=0$，$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{-a - b}{a}=\frac{c}{a}$.
（1）请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：
①$5x^{2}-4x - 1=0$，$x_{1}=$1，$x_{2}=$$-\frac{1}{5}$；
②$2x^{2}-3x + 1=0$，$x_{1}=$1，$x_{2}=$$\frac{1}{2}$；
③$x^{2}-(\sqrt{2}-1)x - 2 + \sqrt{2}=0$，$x_{1}=$1，$x_{2}=$$-2+\sqrt{2}$；
④$(a - b)x^{2}+(b - c)x + c - a=0(a\neq0)$，$x_{1}=$1，$x_{2}=$$\frac{c-a}{a-b}$；
（2）请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是$x=1$.
答案不唯一,如:$4x^{2}-5x+1=0$,$3x^{2}-2x-1=0$,$x^{2}-3x+2=0$.

答案： （1）①1 $-\frac{1}{5}$ ②1 $\frac{1}{2}$ ③1 $-2+\sqrt{2}$ ④1 $\frac{c-a}{a-b}$（2）答案不唯一,如:$4x^{2}-5x+1=0$,$3x^{2}-2x-1=0$,$x^{2}-3x+2=0$.