《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

【例 1】如图,已知 $ AB = 2 $,$ C $ 是 $ AB $ 上一点,四边形 $ ACDE $ 和四边形 $ CBFG $ 都是正方形,设 $ BC = x $。

(1)试用 $ x $ 表示 $ AC $。
(2)设正方形 $ ACDE $ 和正方形 $ CBFG $ 的总面积为 $ S $,请写出用 $ x $ 表示 $ S $ 的函数解析式,并画出其图象。
(3)总面积 $ S $ 有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少？
(4)总面积 $ S $ 取最大值或最小值时,点 $ C $ 在 $ AB $ 的什么位置？

答案：
分析 根据线段和差关系用 $ x $ 表示出正方形 $ ACDE $ 的边长 $ AC $,然后利用正方形面积公式表示它们的面积,构建二次函数解决最值问题即可。
解
(1)当 $ BC = x $ 时,$ AC = 2 - x(0 ＜ x ＜ 2) $。
(2)$ S_{正方形ACDE} = (2 - x)^{2} $,$ S_{正方形CBFG} = x^{2} $,
故 $ S = (2 - x)^{2} + x^{2} = 2x^{2} - 4x + 4 = 2(x - 1)^{2} + 2 $,
画出函数 $ S = 2(x - 1)^{2} + 2(0 ＜ x ＜ 2) $ 的图象,如图。

(3)由图象可知,当 $ x = 1 $ 时,$ S_{最小值} = 2 $；没有最大值。
(4)当 $ x = 1 $ 时,总面积 $ S $ 取得最小值,此时点 $ C $ 恰好在 $ AB $ 的中点处。

【例 2】某进口专营店销售一种“特产”,其成本价是 $ 20 $ 元/千克,根据以往的销售情况描出销售量 $ y $(单位：千克/天)与售价 $ x $(单位：元/千克)的关系,如图所示。

(1)试求出 $ y $ 与 $ x $ 之间的一次函数解析式。
(2)利用(1)的结论：
①求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润。
②进口产品检验、运输等过程需耗时 $ 5 $ 天,该“特产”最长的保存期为一个月($ 30 $ 天),若售价不低于 $ 30 $ 元/千克,则一次进货最多只能为多少千克？

答案： 分析
(1)函数图象过点 $ (37, 38) $,$ (39, 34) $,$ (40, 32) $,三点似乎共线,根据两点确定一条直线,可以利用待定系数法求出过点 $ (37, 38) $,$ (39, 34) $ 的一次函数,然后验证点 $ (40, 32) $ 在所求直线上,从而确定 $ y $ 与 $ x $ 之间的一次函数解析式。
(2)①先根据“每天销售利润 $ = $ 每天销售量 $ × $(销售价 $ - $ 进货价)”列出每天销售利润 $ z $ 与 $ x $ 的函数解析式,再利用配方法确定二次函数的最值。②根据进口产品检验、运输等过程需耗时 $ 5 $ 天,该“特产”最长的保存期为一个月($ 30 $ 天)可知,特产销售的时间最多是 $ 25 $ 天,若售价为 $ 30 $ 元/千克,销售量可以根据
(1)求出,因此一次最多进货量除以售价为 $ 30 $ 元/千克的销售量 $ \leq 25 $ 天,由此列不等式,可以求出最多进货量。
解
(1)设 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y = kx + b $,把点 $ (37, 38) $,$ (39, 34) $ 代入解析式,得
$\begin{cases}38 = 37k + b \\34 = 39k + b\end{cases} $
解得
$\begin{cases}k = -2 \\b = 112\end{cases} $
所以 $ y = -2x + 112 $。
把点 $ (40, 32) $ 代入 $ y = -2x + 112 $ 中,仍然成立,所以 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式是 $ y = -2x + 112 $。
(2)①设利润为 $ z $,则 $ z = (x - 20)(-2x + 112) $,即 $ z = -2x^{2} + 152x - 2240 = -2(x - 38)^{2} + 648 $,当 $ x = 38 $ 时,利润 $ z $ 最大,且最大利润为 $ 648 $ 元。
②由题意可知,售价越低,销量越大,所以尽可能多进货,设一次进货 $ m $ 千克,则 $ \frac{m}{-2 × 30 + 112} \leq 30 - 5 $,解得 $ m \leq 1300 $。故一次最多进货 $ 1300 $ 千克。