《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

10. (2021·湖北黄石中考) 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2mx + m^{2}+m = 0$有实数根。
(1) 求实数$m$的取值范围；
(2) 若该方程的两个实数根分别为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 12$,求实数$m$的值。

答案： 解
(1)根据题意得$\Delta=(2m)^{2}-4(m^{2}+m)\geq0$,解得$m\leq0$.故m的取值范围是$m\leq0$.
(2)根据题意得$x_{1}+x_{2}=-2m$,$x_{1}x_{2}=m^{2}+m$,
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=12$,
所以$(-2m)^{2}-2(m^{2}+m)=12$,即$m^{2}-m-6=0$,
解得$m_{1}=-2$,$m_{2}=3$(舍去).故m的值为-2.

11. (2021·湖北荆门中考) 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-6x + 2m - 1 = 0有x_{1}$,$x_{2}$两个实数根。
(1) 若$x_{1}= 1$,求$x_{2}及m$的值。
(2) 是否存在实数$m$,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m - 5}$？若存在,求出实数$m$的值；若不存在,请说明理由。

答案： 解
(1)根据题意得$\Delta=(-6)^{2}-4(2m-1)\geq0$,解得$m\leq5$.
因为$x_{1}+x_{2}=6$,$x_{1}x_{2}=2m-1$,
$x_{1}=1$,所以$1+x_{2}=6$,$x_{2}=2m-1$,所以$x_{2}=5$,$m=3$.
(2)存在.
因为$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$,
所以$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m-5}$,
即$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$.
整理得$m^{2}-8m+12=0$,解得$m_{1}=2$,$m_{2}=6$,
经检验$m_{1}=2$,$m_{2}=6$为原方程的解.
因为$m\leq5$且$m\neq5$,所以$m=2$.

12. (2021·重庆中考) 重庆小面是重庆美食的名片之一,深受外地游客和本地民众欢迎。某面馆向食客推出经典特色重庆小面,顾客可到店食用(简称“堂食”小面),也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面)。已知$3$份“堂食”小面和$2$份“生食”小面的总售价为$31$元,$4$份“堂食”小面和$1$份“生食”小面的总售价为$33$元。
(1) 求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
(2) 该面馆在$4$月共卖出“堂食”小面$4500$份,“生食”小面$2500$份。为回馈广大食客,该面馆从$5月1$日起每份“堂食”小面的价格保持不变,每份“生食”小面的价格降低$\frac{3}{4}a\%$。统计$5$月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与$4$月相同,“生食”小面的销量在$4月的基础上增加\frac{5}{2}a\%$,这两种小面的总销售额在$4月的基础上增加\frac{5}{11}a\%$,求$a$的值。

答案： 解
(1)设每份"堂食"小面的价格为x元,每份"生食"小面的价格为y元,
根据题意得$\begin{cases}3x+2y=31,\\4x+y=33\end{cases}$解得$\begin{cases}x=7,\\y=5\end{cases}$
答:每份"堂食"小面的价格为7元,每份"生食"小面的价格为5元.
(2)由题意得$4500×7+2500(1+\frac{5}{2}a\%)×5(1-\frac{3}{4}a\%)=(4500×7+2500×5)(1+\frac{5}{11}a\%)$.
设$a\%=m$,则方程可化为$9×7+25(1+\frac{5}{2}m)(1-\frac{3}{4}m)=(9×7+25)(1+\frac{5}{11}m)$,
整理得$375m^{2}-30m=0$,$m(25m-2)=0$,
解得$m_{1}=0$(舍),$m_{2}=\frac{2}{25}$,所以$a=8$.