《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 下列函数是关于 $ x $ 的二次函数的是(D)
A.$ y = ax^{2} + bx + c $
B.$ y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $
C.$ y = (x + 1)^{2} - x^{2} $
D.$ y = x(1 - x) $

答案： D

2. 若点 $ (2,5) $,$ (4,5) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 上,则该抛物线的对称轴是(D)
A.$ x = -\frac{b}{a} $
B.$ x = 1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = 3 $

答案： D

3. 二次函数 $ y = -3x^{2} - 6x + 5 $ 的图象的顶点坐标是(A)
A.$ (-1,8) $
B.$ (1,8) $
C.$ (-1,2) $
D.$ (1,-4) $

答案： A

4. 已知直线 $ x = 1 $ 是函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是实数,且 $ a ＜ 0 $)的图象的对称轴,(C)
A.若 $ m ＞ 1 $,则 $ (m - 1)a + b ＞ 0 $
B.若 $ m ＞ 1 $,则 $ (m - 1)a + b ＜ 0 $
C.若 $ m ＜ 1 $,则 $ (m + 1)a + b ＞ 0 $
D.若 $ m ＜ 1 $,则 $ (m + 1)a + b ＜ 0 $

答案： C 由对称轴,得b=-2a,(m+1)a+b=ma+a-2a=(m-1)a,当m＞1时,(m-1)a＜0,无法判断(m-1)a+b与0的大小关系.当m＜1时,(m-1)a＞0,故选C.

5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a \neq 0 $)的图象如图所示,并且关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c - m = 0 $ 有两个不相等的实数根. 下列结论：① $ b^{2} - 4ac ＜ 0 $；② $ abc ＞ 0 $；③ $ a - b + c ＜ 0 $；④ $ m ＞ -2 $. 其中正确结论的个数是(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点,
∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根,
∴b²-4ac＞0,结论①错误;根据图象可判断a＞0,b＜0,c＜0,
∴abc＞0,结论②正确;当x=-1时,y=a-b+c＞0,结论③错误;根据图象可知,二次函数y=ax²+bx+c的图象顶点的纵坐标为-2,当抛物线向上平移2个或2个以上单位长度后与x轴只有一个交点或没有交点,
∴若一元二次方程ax²+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,则m＞-2,故结论④正确.综上所述,正确的结论是②④,故选B.

6. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,若点 $ A(1,y_{1}) $,$ B(2,y_{2}) $ 是图象上的两点,则 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小关系是(C)

A.$ y_{1} ＜ y_{2} $
B.$ y_{1} = y_{2} $
C.$ y_{1} ＞ y_{2} $
D.不能确定

答案： C 由图象可知在对称轴的右侧y随x的增大而减小,随着x由1到2的增大,y值减小,即y₁＞y₂.

7. 如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度 $ h $(单位：$ m $)与小球运动时间 $ t $(单位：$ s $)之间的关系式为 $ h = 30t - 5t^{2} $,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(6)

A.$ 6s $
B.$ 4s $
C.$ 3s $
D.$ 2s $

答案： A 小球抛出离手前的瞬间距地面0m，小球抛出后经历一段时间落地又距地面0m，由此设h=0,得30t-5t²=0,解得t=0或t=6.因为6 - 0 = 6(s)，所以选A.

8. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的 $ y $ 与 $ x $ 的部分对应值如下表：

下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 $ x = 1 $；③当 $ x ＜ 1 $ 时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；④方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有一个根大于 $ 4 $,其中正确的结论有(B)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B 由表格可知,二次函数y=ax²+bx+c有最大值,当x=(0 + 3)/2 = 3/2时,取得最大值,得抛物线的开口向下,故①正确;其图象的对称轴是直线x=3/2,故②错误;当x＜3/2时,y随x的增大而增大,故③正确;方程ax²+bx+c=0的一个根大于 - 1,小于0,则方程的另一个根大于2×3/2 = 3,小于3 + 1 = 4,故④错误.故选B.

9. 若二次函数 $ y = 2x^{2} - 4x - 1 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A(x_{1},0) $,$ B(x_{2},0) $ 两点,则 $ \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} $ 的值为-4.

答案： -4 因为二次函数y=2x²-4x-1的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点,所以x₁,x₂是一元二次方程2x²-4x-1=0的两根.所以x₁+x₂=2,x₁·x₂=-1/2,所以1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=2/(-1/2)=-4.

10. 若二次函数 $ y = x^{2} - 6x + c $ 的图象的顶点与原点的距离为 $ 5 $,则 $ c = $5或13.

答案： 5或13

11. 已知点 $ P(m,n) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} - x - a $ 上,当 $ m \geq -1 $ 时,总有 $ n \leq 1 $ 成立,则 $ a $ 的取值范围是______.

答案：
-1/2≤a＜0 根据已知条件,画出函数图象，如图所示

由已知得{a＜0,
{-1/(2a)≤-1,
{a+1-a≤1,
解得-1/2≤a＜0.