《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

6. 某商店购进$600$个旅游纪念品,进价为每个$6$元,第一周以每个$10元的价格售出200$个,第二周若按每个$10元的价格销售仍可售出200$个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低$1$元,可多售出$50$个,但售价不得低于进价),单价降低$x$元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个$4$元的价格全部售出。如果销售这批旅游纪念品共获利$1250$元,问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

答案： 解 由题意,得$200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250$,
整理,得$x^{2}-2x+1=0$,
解得$x_{1}=x_{2}=1$,$10-x=10-1=9$.
答:第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元.

1. (2021·湖北襄阳中考) 随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降。两年前生产一吨药的成本是$5000$元,现在生产一吨药的成本是$4050$元。设生产成本的年平均下降率为$x$,下面所列方程正确的是(C)
A.$5000(1 + x)^{2}= 4050$
B.$4050(1 + x)^{2}= 5000$
C.$5000(1 - x)^{2}= 4050$
D.$4050(1 - x)^{2}= 5000$

答案： C

2. (2022·山东聊城中考) 用配方法解一元二次方程$3x^{2}+6x - 1 = 0$时,将它化为$(x + a)^{2}= b$的形式,则$a + b$的值为(B)
A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$2$
D.$\frac{4}{3}$

答案： B

3. (2021·山东潍坊中考) 若菱形两条对角线的长度是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的两根,则该菱形的边长为(A)
A.$\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$

答案： A

4. (2021·山东菏泽中考) 关于$x的方程(k - 1)^{2}x^{2}+(2k + 1)x + 1 = 0$有实数根,则实数$k$的取值范围是(D)
A.$k＞\frac{1}{4}$,且$k\neq1$
B.$k\geq\frac{1}{4}$,且$k\neq1$
C.$k＞\frac{1}{4}$
D.$k\geq\frac{1}{4}$

答案： D

5. (2021·湖北武汉中考) 已知$a$,$b是方程x^{2}-3x - 5 = 0$的两根,则代数式$2a^{3}-6a^{2}+b^{2}+7b + 1$的值是(D)
A.$-25$
B.$-24$
C.$35$
D.$36$

答案： D

6. (2024·四川成都中考) 若$m$,$n是一元二次方程x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根,则$m+(n - 2)^{2}$的值为7。

答案： 7

7. (2022·四川巴中中考) $\alpha$,$\beta是关于x的方程x^{2}-x + k - 1 = 0$的两个实数根,且$\alpha^{2}-2\alpha - \beta = 4$,则实数$k$的值为-4。

答案： -4

8. (2023·浙江丽水中考) 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两。今有干丝一十二斤,问生丝几何？”意思是：“今有生丝$30$斤,干燥后耗损$3斤12$两(古代中国$1斤等于16$两)。今有干丝$12$斤,问原有生丝多少？”则原有生丝为$\frac{96}{7}$斤(斤、两不是法定计量单位)。

答案： $\frac{96}{7}$

9. (2021·湖北十堰中考) 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4x - 2m + 5 = 0$有两个不相等的实数根。
(1) 求实数$m$的取值范围；
(2) 若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数$m$的值。

答案： 解
(1)根据题意得$\Delta=(-4)^{2}-4(-2m+5)＞0$,
解得$m＞\frac{1}{2}$,所以实数m的取值范围为$m＞\frac{1}{2}$.
(2)设$x_{1},x_{2}$是方程的两根,
根据题意得$x_{1}+x_{2}=4＞0$,$x_{1}x_{2}=-2m+5＞0$,解得$m＜\frac{5}{2}$.而$m＞\frac{1}{2}$,
所以m的取值范围为$\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}$.
因为m为整数,所以$m=1$或$m=2$.
当$m=1$时,方程为$x^{2}-4x+3=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=3$,符合题意;
当$m=2$时,方程为$x^{2}-4x+1=0$,解得$x_{1}=2-\sqrt{3}$,$x_{2}=2+\sqrt{3}$,不符合题意,舍去.
所以$m=1$.