《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 一般地,已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的函数值为 $ m $,求自变量 $ x $ 的值,可以看作解一元二次方程$ax^{2}+bx+c=m$。反之,解一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = m $ 又可以看作求使二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的值为 $ m $ 的自变量 $ x $ 的值。特别地,如果抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_{0} $,那么当 $ x = $$x_{0}$时,函数值是 $ 0 $,因此 $ x = x_{0} $ 就是方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个根。

答案： 1.$ax^{2}+bx+c=m$ $x_{0}$

2. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴的位置关系(一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 根的判别式 $ \Delta = b^{2} - 4ac $)：
当 $ \Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0 $ 时 $ \Leftrightarrow $ 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴有______个公共点；
当 $ \Delta = b^{2} - 4ac = 0 $ 时 $ \Leftrightarrow $ 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴只有______个公共点；
当 $ \Delta = b^{2} - 4ac ＜ 0 $ 时 $ \Leftrightarrow $ 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴______公共点。

答案： 2.
(1)两
(2)一
(3)没有

1. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中,若 $ a ＞ 0 $,$ b^{2} - 4ac = 0 $,则它的图象可以是(A)

答案： A

2. 抛物线 $ y = - 3x^{2} - x + 4 $ 与坐标轴的交点个数是(A)
A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $

答案： A

3. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是 $ A(-1,0) $,$ B(2,0) $,则一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根为x₁=-1,x₂=2。

答案： x₁=-1,x₂=2

4. 已知二次函数 $ y = kx^{2} + 3x + 4 $ 的图象的最低点在 $ x $ 轴上,则 $ k = $$\frac {9}{16}$。

答案： $\frac {9}{16}$

【例】已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2} - mx + \frac{m^{2} + 1}{2} $ 与 $ y = x^{2} - mx - \frac{m^{2} + 2}{2} $,这两个二次函数的图象中有一条与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两个不同的点。
(1)试判断哪个二次函数的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两个不同的点。
(2)若点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $,试求出点 $ B $ 的坐标。
(3)在(2)的条件下,对于经过 $ A $,$ B $ 两点的二次函数,当 $ x $ 取何值时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案： 分析 先利用一元二次方程根的判别式即可轻松判断抛物线与 $ x $ 轴的交点情况。同时利用函数的图象与 $ x $ 轴的交点坐标可得方程的解,再通过解一元二次方程求其他点的坐标。
解
(1)判断关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2} - mx + \frac{m^{2} + 1}{2} $ 的图象与 $ x $ 轴的交点情况,即判断方程 $ x^{2} - mx + \frac{m^{2} + 1}{2} = 0 $ 的根的情况,
因为 $ \Delta = (-m)^{2} - 4 × \frac{m^{2} + 1}{2} = -m^{2} - 2 ＜ 0 $,
所以方程没有实根,所以此函数的图象与 $ x $ 轴没有交点；
判断关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2} - mx - \frac{m^{2} + 2}{2} $ 的图象与 $ x $ 轴的交点情况,即判断方程 $ x^{2} - mx - \frac{m^{2} + 2}{2} = 0 $ 的根的情况,
因为 $ \Delta = (-m)^{2} - 4 × (-\frac{m^{2} + 2}{2}) = 3m^{2} + 4 ＞ 0 $,所以方程有两个不相等的实根,
所以此函数的图象与 $ x $ 轴有两个交点。
(2)将 $ A(-1,0) $ 代入 $ y = x^{2} - mx - \frac{m^{2} + 2}{2} $,得 $ 1 + m - \frac{m^{2} + 2}{2} = 0 $。
整理,得 $ m^{2} - 2m = 0 $,
解得 $ m = 0 $ 或 $ m = 2 $。
当 $ m = 0 $ 时,$ y = x^{2} - 1 $。
令 $ y = 0 $,得 $ x^{2} - 1 = 0 $,解得 $ x_{1} = -1 $,$ x_{2} = 1 $。
此时点 $ B $ 的坐标是 $ B(1,0) $。
当 $ m = 2 $ 时,$ y = x^{2} - 2x - 3 $。令 $ y = 0 $,得 $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $,解得 $ x_{1} = -1 $,$ x_{2} = 3 $。
此时点 $ B $ 的坐标是 $ B(3,0) $。
(3)当 $ m = 0 $ 时,二次函数的解析式为 $ y = x^{2} - 1 $,此时函数图象开口向上,对称轴为 $ x = 0 $,所以当 $ x ＜ 0 $ 时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
当 $ m = 2 $ 时,二次函数的解析式为 $ y = x^{2} - 2x - 3 $,即 $ y = (x - 1)^{2} - 4 $,此时函数图象开口向上,对称轴为 $ x = 1 $,所以当 $ x ＜ 1 $ 时,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。