《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象如图所示,则不等式 $ ax ＞ a $ 的解集是(B)

A.$ x ＞ 1 $
B.$ x ＜ 1 $
C.$ x ＞ -1 $
D.$ x ＜ -1 $

答案： B

2. 对于二次函数 $ y = (a^2 + 3)x^2 $,下列命题中正确的是(C)
A.该函数图象的开口方向不确定
B.当 $ a ＜ 0 $ 时,该函数图象的开口向下
C.该函数图象的对称轴是 $ y $ 轴,顶点是坐标原点
D.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： C

3. 对抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $,$ y = x^2 $,$ y = -x^2 $ 的共同性质描述如下：①都开口向上；②都以点 $ (0,0) $ 为顶点；③都以 $ y $ 轴为对称轴；④都关于 $ x $ 轴对称。其中正确的有(B)
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： B

4. 右图所示的是抛物线形的桥拱,其函数解析式为 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $,当水位线在 $ AB $ 位置时,水面宽为 $ 12 \, m $,这时水面离桥顶的高度 $ h $ 是(D)

A.$ 3 \, m $
B.$ 2\sqrt{6} \, m $
C.$ 4\sqrt{3} \, m $
D.$ 9 \, m $

答案： D

5. 已知抛物线 $ y = ax^2 (a ＞ 0) $ 过 $ A(-2,y_1) $,$ B(1,y_2) $ 两点,则下列关系式一定正确的是(C)
A.$ y_1 ＞ 0 ＞ y_2 $
B.$ y_2 ＞ 0 ＞ y_1 $
C.$ y_1 ＞ y_2 ＞ 0 $
D.$ y_2 ＞ y_1 ＞ 0 $

答案： C

6. 抛物线 $ y = -5x^2 $,当 $ x = $______0时,$ y $ 有最______大值,是______0。

答案： 0 大 0

7. 已知函数 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 的图象与函数 $ y = 2x - 3 $ 的图象交于点 $ (1,b) $。
(1) 试求 $ a $ 和 $ b $ 的值。
(2) 求函数 $ y = ax^2 $ 的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴。
(3) $ x $ 取何值时,二次函数 $ y = ax^2 $ 中的 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？

答案： 解
(1)将x=1,y=b代入y=2x-3,得b=-1. 所以交点坐标为(1,-1). 再将x=1,y=-1代入y=ax²,得a=-1. 故a=-1,b=-1.
(2)由
(1)知a=-1,故所求函数的解析式为y=-x²,则其图象的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
(3)当x≤0时,y随x的增大而增大.

8. 如图,已知函数 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 的图象上的点 $ D $,$ C $ 与 $ x $ 轴上的点 $ A(-5,0) $ 和点 $ B(3,0) $ 构成平行四边形 $ ABCD $,$ DC $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ E(0,6) $,试求 $ a $ 的值。

答案： 解 因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC//AB,DC=AB. 又因为点A,B的坐标分别为(-5,0),(3,0),所以DC=AB=|-5|+3=8. 因为y=ax²图象的对称轴是y轴,所以CE=DE=1/2 CD=4. 又因为点E的坐标为(0,6),所以点C的坐标为(4,6). 把x=4,y=6代入y=ax²,得6=4²a,解得a=3/8.