《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

3. 已知点$O$为一圆锥的顶点,点$M$为该圆锥底面上一点,点$P在母线OM$上,一只蚂蚁从点$P$出发,绕圆锥侧面爬行,回到点$P$时所爬过的最短路线的痕迹如图所示. 若沿母线$OM$将圆锥侧面剪开并展开,则所得侧面展开图是(C)


A.
B.
C.
D.

答案： C

4. 如图,把一个圆锥沿母线$OA$剪开,展开后得到扇形$AOC$,已知圆锥的高$h为12\mathrm{cm}$,$OA = 13\mathrm{cm}$,则扇形$AOC中\overset{\frown}{AC}$的长是$10\pi$$\mathrm{cm}$.(计算结果保留$\pi$)

答案： $10\pi$

5. 现有弧长为$30\%$圆周的一个扇形彩纸片,该扇形的半径为$40\mathrm{cm}$,小红为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目,她打算剪去部分扇形纸片后,利用剩下的纸片制作成一个底面半径为$10\mathrm{cm}$的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),那么剪去的扇形纸片的圆心角的度数为18°.

答案： 18°

6. 如图,圆锥的底面半径为$5$,母线长为$20$,一只蜘蛛从底面圆周上一点$A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A$的最短路程是$20\sqrt{2}$.

答案： 设圆锥的底面圆的半径为$r$，母线长为$l$，
已知$r = 5$，$l = 20$。
圆锥底面周长$C = 2\pi r = 2\pi×5 = 10\pi$。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n^{\circ}$，
根据圆锥侧面展开图扇形弧长公式$L=\frac{n\pi l}{180}$，可得$\frac{n\pi×20}{180}=10\pi$，
解得$n = 90$。
圆锥侧面展开图是一个扇形，从底面圆周上一点$A$出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点$A$的最短路程就是扇形展开图中两个点$A$（展开后为扇形的两个端点）之间的弦长。
此时扇形圆心角$n = 90^{\circ}$，半径$l = 20$，
根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系（斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍），
最短路程$d=\sqrt{20^{2}+20^{2}}=\sqrt{400 + 400}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}$。
故答案为$20\sqrt{2}$。

7. 如图,这是一个由圆柱形材料加工而成的零件,它是以圆柱的上底面为底面,在其内部“掏取”一个与圆柱等高的圆锥而得到的,其底面直径$AB = 12\mathrm{cm}$,高$BC = 8\mathrm{cm}$,求这个零件的全面积.(结果保留根号)

答案： 1. 圆柱底面半径 $ r = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\,cm $，高 $ h = 8\,cm $。
2. 圆柱侧面积：$ S_{圆柱侧} = 2\pi rh = 2\pi × 6 × 8 = 96\pi\,cm^2 $。
3. 圆柱下底面积：$ S_{下底} = \pi r^2 = \pi × 6^2 = 36\pi\,cm^2 $。
4. 圆锥底面半径 $ r = 6\,cm $，高 $ h = 8\,cm $，母线长 $ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\,cm $。
5. 圆锥侧面积：$ S_{圆锥侧} = \pi rl = \pi × 6 × 10 = 60\pi\,cm^2 $。
6. 零件全面积：$ S_{全} = S_{圆柱侧} + S_{下底} + S_{圆锥侧} = 96\pi + 36\pi + 60\pi = 192\pi\,cm^2 $。
$ 192\pi\,cm^2 $

★8. 如图①,在正方形的铁皮上剪下一个圆形和一个扇形,使之恰好围成如图②的一个圆锥,设图①中圆的半径为$r$,扇形的半径为$R$,那么扇形的半径$R与\odot O的半径r$之间满足怎样的关系？并说明理由.

答案： $R = 4r$；
理由如下：
圆的半径为$r$，则圆的周长即圆锥的底面周长$= 2\pi r$；
根据观察可知，图中扇形的圆心角为$90$度，扇形的半径为$R$，
所以该扇形的弧长$=\frac{90\pi R}{180}= \frac{1}{2}\pi R$；
由于圆的周长和扇形的弧长相等，
则$\frac{1}{2}\pi R=2\pi r$，
所以$R = 4r$。