《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

8. 已知二次函数 $ y = ax^{2}-5x + c $ 的图象如图所示.
求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
观察图象回答,何时 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大,何时 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小？
如果将图中抛物线先向左平移 $ 3 $ 个单位长度,再向下平移 $ 4 $ 个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.

答案：
1. 解析式：$y=x^2-5x+4$；顶点坐标$(\frac{5}{2},-\frac{9}{4})$。
2. $x＞\frac{5}{2}$时y随x增大而增大；$x＜\frac{5}{2}$时y随x增大而减小。
3. 平移后解析式：$y=x^2+x-6$。

求 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标；
求经过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的抛物线的解析式；
若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点 $ D $,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度？

答案： 从图中可得：$A(1,0)$，$B(5,0)$，$C(3,4)$，$D(0,3)$。
设抛物线解析式为$y = a(x - 1)(x - 5)$，把$C(3,4)$代入得：
$4=a×(3 - 1)×(3 - 5)$，
$4 = a×2×(-2)$，
$a = - 1$。
所以抛物线解析式为$y=-(x - 1)(x - 5)=-x^{2}+6x - 5$。
设平移后抛物线解析式为$y=-x^{2}+6x - 5 + k$，把$D(0,3)$代入得：
$3=-5 + k$，$k = 8$。
所以平移后抛物线解析式为$y=-x^{2}+6x + 3$，平移了$8$个单位长度。
综上，$A(1,0)$，$B(5,0)$，$C(3,4)$；抛物线解析式为$y=-x^{2}+6x - 5$；平移后抛物线解析式为$y=-x^{2}+6x + 3$，平移了$8$个单位长度。

1. 一般地,已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的函数值为 $ m $,求自变量 $ x $ 的值,可以看作解一元二次方程$ ax^2 + bx + c = m $. 反之,解一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = m $ 又可以看作求使已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的值为 $ m $ 的自变量 $ x $ 的值. 特别地,如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_0 $,那么当$ x = x_0 $时,函数值是 $ 0 $,因此 $ x = x_0 $ 就是方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个根.

答案：
$ ax^2 + bx + c = m $；$ x = x_0 $

2. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是 $ A(-1,0) $,$ B(2,0) $,则一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为$ x_1 = -1 $，$ x_2 = 2 $.

答案： $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 2 $

3. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴的位置关系(一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $)：
当 $ \Delta = b^2 - 4ac ＞ 0 $ 时 $ \Leftrightarrow $ 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴有两个公共点；
当 $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $ 时 $ \Leftrightarrow $ 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点；
当 $ \Delta = b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时 $ \Leftrightarrow $ 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴没有公共点.

答案： 两，一，没有