《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - k = 0 $ 无实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是$k ＜ -1$.

答案： $k ＜ -1$

7. 判断下列方程根的情况：
(1)$ 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $；
(2)$ 6 y ( y - 1 ) + 3 = 0 $.

答案：
(1) 对于方程 $3x^{2} - 2x - 1 = 0$：
首先，确定系数 $a = 3$，$b = -2$，$c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 3 × (-1) = 4 + 12 = 16$
由于 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $6y(y - 1) + 3 = 0$：
首先，将其化为标准形式：
$6y^{2} - 6y + 3 = 0$
然后，确定系数 $a = 6$，$b = -6$，$c = 3$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-6)^{2} - 4 × 6 × 3 = 36 - 72 = -36$
由于 $\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。

8. 当 $ k $ 取何值时,关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + k - 5 = 0 $,
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根.

答案： 解题过程依据一元二次方程根的判别式 $ \Delta = b^{2} - 4ac $ 进行判断。
对于方程 $ x^{2} - 4x + k - 5 = 0 $，其中 $ a = 1 $，$ b = -4 $，$ c = k - 5 $，判别式为：
$ \Delta = (-4)^{2} - 4 × 1 × (k - 5) = 16 - 4k + 20 = 36 - 4k $
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，需满足 $ \Delta ＞ 0 $，即：
$ 36 - 4k ＞ 0 \implies k ＜ 9 $
(2) 当方程有两个相等的实数根时，需满足 $ \Delta = 0 $，即：
$ 36 - 4k = 0 \implies k = 9 $
(3) 当方程没有实数根时，需满足 $ \Delta ＜ 0 $，即：
$ 36 - 4k ＜ 0 \implies k ＞ 9 $
最终结论：
(1) $ k ＜ 9 $；
(2) $ k = 9 $；
(3) $ k ＞ 9 $。

1. 若关于 $ x $ 的方程 $ k x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0 $ 有实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是(D)
A.$ k ＜ 1 $,且 $ k \neq 0 $
B.$ k ＜ 1 $
C.$ k \leq 1 $,且 $ k \neq 0 $
D.$ k \leq 1 $

答案： D

2. 已知直线 $ y = x + a $ 不经过第二象限,则关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 $ 实数解的个数是(D)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $ 或 $ 2 $

答案： D

3. 定义运算：$ m ∗ n = m n ^ { 2 } - m n - 1 $. 例如：$ 4 ∗ 2 = 4 × 2 ^ { 2 } - 4 × 2 - 1 = 7 $,则方程 $ 1 ∗ x = 0 $ 的根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： A

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 \sqrt { k } x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是(D)
A.$ k ＞ - 1 $
B.$ k \geq - 1 $
C.$ k ＞ 1 $
D.$ k \geq 0 $

答案： D

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 4 x + m - \frac { 3 } { 2 } = 0 $ 有实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是$m \leq \frac{7}{2}$.

答案： $m \leq \frac{7}{2}$

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( m - 1 ) x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是$m＞ 0$ 且 $m \neq 1$（或写成$m \in (0,1) \cup (1, +\infty)$）.

答案： $m＞ 0$ 且 $m \neq 1$（或写成$m \in (0,1) \cup (1, +\infty)$）。