《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD\perp AB于点D$,$AD = 8$,$CD = 6$,则当$BD = $4.5时,$\triangle ADC\backsim\triangle CDB$,$\angle ACB = $90°.

答案： 4.5，90°

4. 如图,为测得一养鱼池的两端$A$,$B$间的距离,可在平地上取能直接到达$A和B的点O$,连接$AO$,$BO并分别延长到点C$,$D$,使$OC= \frac{1}{2}OA$,$OD= \frac{1}{2}OB$.如果量得$CD = 30\ m$,那么池塘宽$AB = $60m.

答案： 60m

5. 在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$AC = 8$,在$\triangle DEF$中,$DE = 4$,$DF = 3$,要使$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,可以添加条件∠A=∠D(写出一种情况即可).

答案： ∠A=∠D

6. 如图,已知在正方形$ABCD$中,$P是BC$上的一点,且$BP = 3PC$,$Q是CD$的中点,求证：$\triangle ADQ\backsim\triangle QCP$.

答案： 设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$。
因为$BP = 3PC$，所以$PC = a$，$BP=3a$，
因为$Q$ 是 $CD$ 的中点，$CD = 4a$，所以 $CQ = DQ = 2a$。
在$\triangle ADQ$中，$AD = 4a$，$DQ = 2a$，
在$\triangle QCP$中，$PC = a$，$CQ = 2a$，
则$\frac{AD}{QC} = \frac{4a}{2a}=2$，$\frac{DQ}{CP} = \frac{2a}{a}=2$。
所以$\frac{AD}{QC} = \frac{DQ}{CP}$。
又因为$\angle ADQ = \angle QCP = 90^{\circ}$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ADQ\backsim\triangle QCP$。

1. 如图,在正三角形$ABC$中,点$D$,$E分别在AC$,$AB$上,且$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{3}$,$AE = BE$,则有(B)

A.$\triangle AED\backsim\triangle BED$
B.$\triangle AED\backsim\triangle CBD$
C.$\triangle AED\backsim\triangle ABD$
D.$\triangle BAD\backsim\triangle BCD$

答案： B

A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与④相似

答案： B

A. $mb$
B. $\frac{m}{b}$
C. $\frac{b}{m}$
D. $\frac{b}{m + 1}$

答案： 【解析】由题意及插图可知，DC//AB，故△DOC∽△BOA（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，且构成的三角形相似）。设相似比DO:OA=m:1，则DC:AB=DO:OA=m:1。已知DC=b，可得b:AB=m:1，解得AB=b/m。
【答案】C

4. 如图,$\angle 1 = \angle 2$,添加一个条件使得$\triangle ADE\backsim\triangle ACB$,这个条件是∠D=∠C（或∠AED=∠B或$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$）.

答案： ∠D=∠C（或∠AED=∠B或$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$）

5. 如图,已知$\angle BAC= \angle EAD$,$AB = 20.4$,$AC = 48$,$AE = 17$,$AD = 40$.求证：$\triangle ABC\backsim\triangle AED$.

答案： 证明：
∵ $AB = 20.4$，$AE = 17$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{20.4}{17} = 1.2$。
∵ $AC = 48$，$AD = 40$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{48}{40} = 1.2$。
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$。
又
∵ $\angle BAC = \angle EAD$，
∴ $\triangle ABC \backsim \triangle AED$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。