《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 用公式法解一元二次方程 $ 3x^{2}-2x+3 = 0 $时,首先要确定 $ a,b,c $的值,下列叙述正确的是(D)
A.$ a = 3,b = 2,c = 3 $
B.$ a = -3,b = 2,c = 3 $
C.$ a = 3,b = 2,c = -3 $
D.$ a = 3,b = -2,c = 3 $

答案： D

2. 方程 $ x^{2}+x-12 = 0 $的两个根为(D)
A.$ x_{1} = -2,x_{2} = 6 $
B.$ x_{1} = -6,x_{2} = 2 $
C.$ x_{1} = 3,x_{2} = 4 $
D.$ x_{1} = -4,x_{2} = 3 $

答案： D

3. 用求根公式解得一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $的两根互为相反数,则(A)
A.$ b = 0 $
B.$ c = 0 $
C.$ b^{2}-4ac = 0 $
D.$ b+c = 0 $

答案： A

4. 用公式法解方程 $ x^{2}+2\sqrt{5}x-2 = 0 $,其中 $ a = $1,$ b = $$2\sqrt{5}$,$ c = $$-2$,$ b^{2}-4ac = $28,解得 $ x_{1} = $$-\sqrt{5}+\sqrt{7}$,$ x_{2} = $$-\sqrt{5}-\sqrt{7}$.

答案： 1，$2\sqrt{5}$，$-2$，28，$-\sqrt{5}+\sqrt{7}$，$-\sqrt{5}-\sqrt{7}$

5. 一元二次方程 $ a^{2}-4a-7 = 0 $的解为$a = 2\pm\sqrt{11}$.

答案： $a = 2\pm\sqrt{11}$

6. 若 $ \frac{1}{2}x^{2}+1 $与 $ 4x^{2}-3x-5 $互为相反数,则 $ x $的值为$x_{1} = \frac{4}{3}$，$x_{2} = -\frac{2}{3}$.

答案： 由题意知，$\frac{1}{2}x^{2} + 1$ 与 $4x^{2} - 3x - 5$ 互为相反数，即：
$\frac{1}{2}x^{2} + 1 + 4x^{2} - 3x - 5 = 0$，
合并同类项，得到：
$\frac{9}{2}x^{2} - 3x - 4 = 0$，
两边同时乘以2，得到：
$9x^{2} - 6x - 8 = 0$，
其中，$a = 9$，$b = -6$，$c = -8$。
计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-6)^{2} - 4 × 9 × (-8) = 324$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
使用公式法求解 $x$：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{18} = \frac{6 \pm 18}{18}$，
得到两个
$x_{1} = \frac{6 + 18}{18} = \frac{4}{3}$，
$x_{2} = \frac{6 - 18}{18} = -\frac{2}{3}$。
故答案为：$x_{1} = \frac{4}{3}$，$x_{2} = -\frac{2}{3}$。

7. 用公式法解下列方程：
(1)$ x^{2}-3x-1 = 0 $；
(2)$ 4x^{2}+5x = 1 $；
(3)$ x^{2}-4\sqrt{3}x = -12 $.

答案：
(1) $x^{2}-3x-1 = 0$
解：$a=1$，$b=-3$，$c=-1$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$
(2) $4x^{2}+5x = 1$
解：整理得$4x^2 + 5x - 1 = 0$
$a=4$，$b=5$，$c=-1$
$\Delta = 5^2 - 4×4×(-1) = 25 + 16 = 41$
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2×4} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{8}$
$\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{8}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{8}$
(3) $x^{2}-4\sqrt{3}x = -12$
解：整理得$x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0$
$a=1$，$b=-4\sqrt{3}$，$c=12$
$\Delta = (-4\sqrt{3})^2 - 4×1×12 = 48 - 48 = 0$
$x = \frac{4\sqrt{3} \pm 0}{2} = 2\sqrt{3}$
$\therefore x_1 = x_2 = 2\sqrt{3}$

1. 若关于 $ x $的方程 $ bx^{2}-cx-a = 0(b\neq0) $有解,则解为(B)
A.$ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
B.$ x = \frac{c\pm\sqrt{c^{2}+4ab}}{2b} $
C.$ x = \frac{-c\pm\sqrt{c^{2}-4ab}}{2b} $
D.$ x = \frac{c\pm\sqrt{b^{2}+4ac}}{2b} $

答案： B