《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

5. 在 $1$ 只不透明袋中有 $1$ 个红球和 $1$ 个黄球,它们除了颜色外其余都相同,任意摸出 $1$ 个球,放回袋中再摸一次,则至少一次摸到红球的概率为$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$

6. 如图,随机闭合开关 $S_1$,$S_2$,$S_3$ 中的两个,求能让灯泡 $ⓧ$ 发光的概率。

答案： $\frac{2}{3}$

7. 小明参加某市电视台组织的智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关。第一道单选题有 $3$ 个选项,第二道单选题有 $4$ 个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)。
(1)如果小明两次“求助”都在第一道题中使用,那么小明通关的概率是$\frac{1}{4}$；
(2)如果小明两次“求助”都在第二道题中使用,那么小明通关的概率是$\frac{1}{6}$；
(3)如果小明将每道题各用一次“求助”,请用列表法来分析他顺利通关的概率。

答案：
(1)
第一道单选题原有$3$个选项，两次“求助”都用在第一道题，那么第一道题只剩$3 - 2 = 1$个选项，答对第一道题的概率为$1$；
第二道单选题有$4$个选项，小明不会，答对第二道题的概率为$\frac{1}{4}$。
根据相互独立事件概率乘法公式，小明通关的概率$P = 1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。
(2)
第一道单选题有$3$个选项，小明不会，答对第一道题的概率为$\frac{1}{3}$；
第二道单选题有$4$个选项，两次“求助”都用在第二道题，那么第二道题只剩$4 - 2 = 2$个选项，答对第二道题的概率为$\frac{1}{2}$。
根据相互独立事件概率乘法公式，小明通关的概率$P=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。
(3)
第一道题使用“求助”后剩$2$个选项，设为$A$，$B$，其中正确选项为$A$；
第二道题使用“求助”后剩$3$个选项，设为$1$，$2$，$3$，其中正确选项为$1$。
列表如下：
| | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $A$ | $(A,1)$ | $(A,2)$ | $(A,3)$ |
| $B$ | $(B,1)$ | $(B,2)$ | $(B,3)$ |
一共有$6$种等可能结果，其中顺利通关的只有$(A,1)$这$1$种结果。
所以$P = \frac{1}{6}$。
综上，答案依次为：
(1)$\frac{1}{4}$；
(2)$\frac{1}{6}$；
(3)$\frac{1}{6}$。

1. 在 $1$ 只不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 $1$ 个红球和 $2$ 个白球,搅匀后从中摸出 $1$ 个球,放回搅匀,再摸出 $1$ 个球,两次都摸出白球的概率是(A)
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： A

2. 甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”中的一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为(B)
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： B

3. 某市举办中学生篮球赛,初中男子组有市区学校的 $A$,$B$,$C$ 三个队和县区学校的 $D$,$E$,$F$,$G$,$H$ 五个队。如果从 $A$,$B$,$D$,$E$ 四个队与 $C$,$F$,$G$,$H$ 四个队中各抽取一个队进行首场比赛,那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是$\frac{3}{8}$。

答案： $\frac{3}{8}$（题目要求这里可能是让填分数形式对应的选项，按照要求直接填结果对应的呈现，若选项有该分数对应选项则选对应字母，这里按要求只填内容的话）