《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

3. 如图,已知点O是等边三角形PQR的中心,$P'$,$Q'$,$R'$分别是OP,OQ,OR的中点,则△$P'Q'R'$与△PQR是位似图形,点O是位似中心,相似比是$1:2$。

答案： 位似图形，位似中心，$1:2$。

4. 如图,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长均为1.△AOB与△$A'OB'$是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为3:2,点A,B都在格点上,则点$B'$的坐标是(-2, 4/3)。

答案： (-2, 4/3)

5. 如图,已知△ABC与△$A'B'C'$是位似图形,请在图中画出位似中心O。

(1)若△ABC与△$A'B'C'$的相似比是1:2,且AB= 2cm,则$A'B'$= 4cm；
(2)若$OA'= \frac{3}{2}OA$,△ABC的面积为16$cm^2$,求△$A'B'C'$的面积。

答案： 答：
如图，连接$AA^{\prime} $、$BB^{\prime} $，延长$AA^{\prime} $、$BB^{\prime} $，其交点为位似中心$O$。
(1) $4$。
(2)因为$OA^{\prime} =\frac{3}{2}OA$，
所以$OA^{\prime} :OA = 3:2$，
则$\bigtriangleup ABC$与$\bigtriangleup A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} $的相似比为$2:3$。
因为相似三角形面积比等于相似比的平方，
设$\bigtriangleup A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} $的面积为$S$，
则$\frac{16}{S} = (\frac{2}{3})^2$，
$S = 36cm^2$。
所以$\bigtriangleup A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} $的面积为$36cm^2$。

6. 如图,△ABC在方格纸中,且方格纸中的每个小正方形的边长都是1。

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),并求出点B的坐标；
(2)以原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将△ABC放大,画出放大后的图形△$A'B'C'$；
(3)计算△$A'B'C'$的面积S。

答案：
(1)
建立平面直角坐标系：根据$A(2,3)$，$C(6,2)$确定坐标系位置。
由图可知$B$点坐标为$(2,1)$。
(2)
因为以原点$O$为位似中心，相似比为$2$，在第一象限内将$\triangle ABC$放大。
则$A(2,3)$的对应点$A'$坐标为$(2×2,3×2)=(4,6)$；
$B(2,1)$的对应点$B'$坐标为$(2×2,1×2)=(4,2)$；
$C(6,2)$的对应点$C'$坐标为$(6×2,2×2)=(12,4)$。
在方格纸中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到$\triangle A'B'C'$。
(3)
$S = \frac{1}{2}×(12 - 4)×(6 - 2)=16$。