《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

5. 用配方法解方程$x^{2}-2x-5= 0$.

答案： $x^{2} - 2x - 5 = 0$，
移项，得：
$x^{2} - 2x = 5$，
配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得：
$x^{2} - 2x + 1 = 5 + 1$，
即$(x - 1)^{2} = 6$，
开方，得：
$x - 1 = \pm \sqrt{6}$，
解得：
$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$，
$x_{2} = 1 - \sqrt{6}$。

6. 阅读理解：解方程$4x^{2}-6x-3= 0$.
解：$4x^{2}-6x-3= 0$,
配方,得$4x^{2}-6x+(\frac{-6}{2})^{2}-(\frac{-6}{2})^{2}-3= 0$,
即$4x^{2}-6x+9= 12$.
故$(2x-3)^{2}= 12$.
即$x_{1}= \sqrt{3}+\frac{3}{2},x_{2}= -\sqrt{3}+\frac{3}{2}$.
以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程.

答案： 错误原因：在二次项系数不为1的情况下，未先将二次项系数化为1，直接加上一次项系数一半的平方进行配方，导致配方错误。
正确解答过程：
解：$4x^{2}-6x-3=0$
移项，得$4x^{2}-6x=3$
二次项系数化为1，得$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{3}{4}$
配方，得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$
即$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\frac{9}{16}$
化简右边，得$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{21}{16}$
开平方，得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{21}}{4}$
解得$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{4}$

1. 若将一元二次方程$x^{2}-8x-5= 0化成(x+a)^{2}= b$($a,b$为常数)的形式,则$a,b$的值分别是(A)
A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$

答案： A

2. 一元二次方程$y^{2}-y-\frac{3}{4}= 0$配方后可化为(B)
A.$(y+\frac{1}{2})^{2}= 1$
B.$(y-\frac{1}{2})^{2}= 1$
C.$(y+\frac{1}{2})^{2}= \frac{3}{4}$
D.$(y-\frac{1}{2})^{2}= \frac{3}{4}$

答案： B

3. 已知一个三角形的两边长分别为$3和6$,第三边长是方程$x^{2}-10x+21= 0$的根,则该三角形的周长为16.

答案： 16

4. 方程$(x-3)^{2}= (5x+2)^{2}$的解为$x_{1}=\frac{1}{6},x_{2}=-\frac{5}{4}$.

答案： $x_{1}=\frac{1}{6},x_{2}=-\frac{5}{4}$（按题目要求填写形式可能为多答案填空形式，这里按常规解方程答案呈现）若以选项形式（假设选项有此答案）选包含$x_{1}=\frac{1}{6},x_{2}=-\frac{5}{4}$的选项。

5. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}= b$($ab＞0$)的两个根分别是$m+1与2m-4$,则$\frac{b}{a}= $4.

答案： 4

6. 对于$4个数a,b,c,d$,定义了一种新运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$.若$\begin{vmatrix}x+1&x-1\\1-x&x+1\end{vmatrix} = 6$,则$x= $$\pm\sqrt{2}$.

答案： 根据新运算定义，得：
$\begin{aligned}(x+1)(x+1)-(x-1)(1-x)&=6\\(x+1)^2 + (x-1)^2&=6\\x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1&=6\\2x^2 + 2&=6\\2x^2&=4\\x^2&=2\\x&=\pm\sqrt{2}\end{aligned}$
$x=\pm\sqrt{2}$

7. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x-4= 0$；
(2)$x^{2}+3x-18= 0$；
(3)$2x^{2}-7x+6= 0$.

答案：
(1)移项，得$x^{2}+4x=4$，配方，得$x^{2}+4x+4=4+4$，即$(x+2)^{2}=8$，开平方，得$x+2=\pm 2\sqrt{2}$，解得$x_{1}=-2+2\sqrt{2}$，$x_{2}=-2-2\sqrt{2}$；
(2)移项，得$x^{2}+3x=18$，配方，得$x^{2}+3x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$，即$\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{81}{4}$，开平方，得$x+\dfrac{3}{2}=\pm \dfrac{9}{2}$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-6$；
(3)方程两边同除以$2$，得$x^{2}-\dfrac{7}{2}x+3=0$，移项，得$x^{2}-\dfrac{7}{2}x=-3$，配方，得$x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}=-3+\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}$，即$\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{16}$，开平方，得$x-\dfrac{7}{4}=\pm \dfrac{1}{4}$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\dfrac{3}{2}$.

★8. 试说明：不论$m$为何实数,关于$x的方程(m^{2}-8m+17)x^{2}+2mx+1= 0$都是一元二次方程.

答案： 要说明不论$m$为何实数，方程$(m^{2}-8m+17)x^{2}+2mx+1=0$都是一元二次方程，只需证明二次项系数$m^{2}-8m+17$恒不为$0$。
$\begin{aligned}m^{2}-8m+17&=m^{2}-8m+16 + 1\\&=(m - 4)^{2}+1\end{aligned}$
因为$(m - 4)^{2}\geq0$，所以$(m - 4)^{2}+1\geq1$，即$m^{2}-8m+17\geq1＞0$。
因此，不论$m$为何实数，二次项系数都不为$0$，该方程都是一元二次方程。