《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

5. 按指定的方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{2}(2x - 1)^2 - 32 = 0$(直接开平方法)；
(2)$x^2 - x - 7 = 0$(公式法)；
(3)$x^2 - 1 = 3x - 3$(因式分解法)。

答案：
(1)
$\begin{aligned}\frac{1}{2}(2x - 1)^2 - 32 &= 0 \\(2x - 1)^2 &= 64 \\2x - 1 &= \pm 8 \\x_1 &= \frac{9}{2}, \quad x_2 = -\frac{7}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2 - x - 7 &= 0 \\x &= \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 × 1 × (-7)}}{2 × 1} \\x &= \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \\x_1 &= \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}x^2 - 1 - 3x + 3 &= 0 \\x^2 - 3x + 2 &= 0 \\(x - 1)(x - 2) &= 0 \\x_1 &= 1, \quad x_2 = 2\end{aligned}$

1. 已知关于$x的一元二次方程x^2 + px + q = 0的两根为x_1 = 3$,$x_2 = - 4$,则二次三项式$x^2 + px + q$可分解为(B)
A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x + 3)(x + 4)$
D.$(x - 3)(x - 4)$

答案： B

2. 若分式$\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}的值为0$,则$x$的值为(C)
A.$1或- 1$
B.$- 3或1$
C.$- 3$
D.$- 3或- 1$

答案： C

3. 一个正方体的展开图如图所示,已知正方体相对两个面上的数相同,则“★”面上的数为(D)

A.$1$
B.$1或2$
C.$2$
D.$2或3$

答案： D

4. 用因式分解法解关于$x的一元二次方程x^2 - mx - 7 = 0$时,若将左边分解后有一个因式为$x + 1$,则$m$的值为(C)
A.$7$
B.$- 7$
C.$6$
D.$- 6$

答案： C

5. 已知关于$x的方程x^2 + mx - 2m = 0的一个根为- 1$,则关于$x的方程x^2 - 6mx = 0$的根为(C)
A.$x = 2$
B.$x = 0$
C.$x_1 = 2$,$x_2 = 0$
D.以上答案都不对

答案： C

6. 已知一元二次方程的两根分别是$2和- 3$,则这个一元二次方程可以是$x^{2} + x - 6 = 0$。

答案： $x^{2} + x - 6 = 0$（或填$x^2 + x = 6$等价形式，但按题目常规要求填标准式）

7. 已知关于$x的一元二次方程mx^2 + 5x + m^2 - 2m = 0有一个根为0$,则$m = $2。

答案： 2

8. 对于实数$a$,$b$,我们定义一种运算“※”为：$a※b = a^2 - ab$,例如$1※3 = 1^2 - 1×3$。若$x※4 = 0$,则$x = $0或4。

答案： 0或4

9. 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)$(2x + 3)(2x - 3) = 16$；
(2)$3x^2 - 5x + 1 = 0$。

答案：
(1)
解：
原方程为$(2x + 3)(2x - 3) = 16$，
首先展开左侧得：$4x^2 - 9 = 16$，
移项得：$4x^2 = 25$，
除以4得：$x^2 = \frac{25}{4}$，
开方得：$x = \pm \frac{5}{2}$，
所以，$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{5}{2}$。
(2)
解：
原方程为$3x^2 - 5x + 1 = 0$，
其中，$a = 3$，$b = -5$，$c = 1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 3 × 1 = 25 - 12 = 13$，
由于$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式，$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
代入得：$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$，
所以，$x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$，$x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$。