《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

★10. 如图,已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + c $ 的图象经过点 $ D \left( -\sqrt{3}, \frac{9}{2} \right) $,与 $ x $ 轴交于 $ A, B $ 两点。

(1)求实数 $ c $ 的值；
(2)设点 $ C $ 为该二次函数的图象在 $ x $ 轴上方的一点,直线 $ AC $ 将四边形 $ ABCD $ 的面积二等分,试证明线段 $ BD $ 被直线 $ AC $ 平分,并求此时直线 $ AC $ 的函数解析式。

答案：
(1)将点$D(-\sqrt{3},\frac{9}{2})$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+c$，得$\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}×(-\sqrt{3})^{2}+c$，解得$c=6$。
(2)由
(1)得二次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+6$，令$y = 0$，得$-\frac{1}{2}x^{2}+6=0$，解得$x=\pm2\sqrt{3}$，所以$A(-2\sqrt{3},0)$，$B(2\sqrt{3},0)$。
设$AC$与$BD$交点为$G$，因为直线$AC$将四边形$ABCD$的面积二等分，所以$S_{\triangle AGC}=S_{\triangle AGD}$，又$\triangle AGC$与$\triangle AGD$高相同（以$A$到$CG$和$DG$的距离为高），所以$CG = DG$，即线段$BD$被直线$AC$平分。
设直线$AC$的解析式为$y = kx+b$，$C(x,-\frac{1}{2}x^{2}+6)$，$G$为$BD$中点，$B(2\sqrt{3},0)$，$D(-\sqrt{3},\frac{9}{2})$，根据中点坐标公式可得$G(\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2},\frac{\frac{9}{2}+0}{2})$即$G(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{9}{4})$。
把$A(-2\sqrt{3},0)$，$G(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{9}{4})$代入$y = kx+b$，得$\begin{cases}-2\sqrt{3}k+b=0\\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{9}{4}\end{cases}$，
由$-2\sqrt{3}k+b=0$得$b = 2\sqrt{3}k$，代入$\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{9}{4}$，得$\frac{\sqrt{3}}{2}k+2\sqrt{3}k=\frac{9}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}k=\frac{9}{4}$，解得$k=\frac{3\sqrt{3}}{10}$，$b=\frac{9}{5}$。
所以直线$AC$的函数解析式为$y=\frac{3\sqrt{3}}{10}x+\frac{9}{5}$。
综上，答案为：
(1)$c = 6$；
(2)证明过程如上述，直线$AC$的函数解析式为$y=\frac{3\sqrt{3}}{10}x+\frac{9}{5}$。

1. (1) 抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状大小、开口方向都完全相同,但顶点坐标和对称轴不同.
(2) 抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点坐标为$(h,0)$,对称轴是直线$x = h$.
(3) 抛物线 $ y = ax^2 $ 向左平移 $ h $ 个单位长度,即为抛物线$y = a(x + h)^2$,抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 $ h $ 个单位长度,即为抛物线$y = a(x - h)^2$.

答案：
(1) 相同；顶点坐标；对称轴
(2) $(h,0)$；直线$x = h$
(3) $y = a(x + h)^2$；$y = a(x - h)^2$

2. 抛物线 $ y = -4x^2 $ 与 $ y = -\frac{1}{4}(x - 1)^2 $ 共有的性质是(C)
A.开口向上
B.对称轴都是 $ y $ 轴
C.都有最高点
D.顶点坐标为原点

答案： C

3. 一般地,抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 形状相同,位置不同. 把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $. 平移的方向、距离要根据$h$、$k$的值来决定.

答案： 平移；$h$、$k$

4. 抛物线 $ y = (x + 2)^2 - 4 $ 的开口向上,对称轴为$ x = -2 $,顶点坐标为$ (-2, -4) $,它可以看作是由抛物线 $ y = x^2 $ 先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度得到.

答案： 【解析】：
1. 开口方向：
由于抛物线方程为 $ y = (x + 2)^2 - 4 $，其中二次项系数 $ a = 1 ＞ 0 $，所以开口向上。
2. 对称轴：
方程形式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，这里 $ h = -2 $，所以对称轴为直线 $ x = -2 $。
3. 顶点坐标：
顶点坐标为 $ (h, k) $，即 $ (-2, -4) $。
4. 平移过程：
原抛物线 $ y = x^2 $ 向左平移 2 个单位长度（因为 $ h = -2 $），再向下平移 4 个单位长度（因为 $ k = -4 $）。
【答案】：
开口向上，对称轴为 $ x = -2 $，顶点坐标为 $ (-2, -4) $，先向左，再向下。
（按题目要求填空顺序，答案为：上，$ x = -2 $，$ (-2, -4) $，左，下）
最终答案格式：
【答案】：上，$ x = -2 $，$ (-2, -4) $，左，下