《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

3. 如图,已知点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上任一点,$AB = 4$,$AD = 2$,$\angle DAC= \angle B$. 若 $\triangle ABD$ 的面积为 $a$,则 $\triangle ACD$ 的面积为(C)

A.$a$
B.$\frac{1}{2}a$
C.$\frac{1}{3}a$
D.$\frac{2}{5}a$

答案： C

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,已知 $BC＞AC$,点 $D$ 在 $BC$ 上,且 $DC = AC$,$\angle ACB$ 的平分线 $CE$ 交 $AD$ 于点 $E$,点 $F$ 是 $AB$ 的中点,则 $S_{\triangle AEF}:S_{四边形BDEF}$ 为(D)

A.$3:4$
B.$1:2$
C.$2:3$
D.$1:3$

答案： D

5. 在 $\triangle ABC$ 中,已知 $D$,$E$ 分别是边 $AB$ 与 $AC$ 的中点,$BC = 4$,下面四个结论：① $DE = 2$；② $\triangle ADE\backsim\triangle ABC$；③ $\triangle ADE$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比为 $1:4$；④ $\triangle ADE$ 的周长与 $\triangle ABC$ 的周长之比为 $1:4$；⑤ $\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 对应线段的比为 $1:2$,其中正确的有①②③⑤.

答案： ①②③⑤

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$M$,$N$ 分别为 $AC$,$BC$ 的中点. 若 $S_{\triangle CMN}= 1$,则 $S_{四边形ABNM}= $3.

答案： 3

7. 如图,$\triangle ABC$ 是一张锐角三角形的硬纸片,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$BC = 40\mathrm{cm}$,$AD = 30\mathrm{cm}$. 从这张硬纸片上剪下一个长 ($HG$) 是宽 ($HE$) 的 $2$ 倍的矩形纸片 $EFGH$,使它的一边 $EF$ 在 $BC$ 上,顶点 $G$,$H$ 分别在 $AC$,$AB$ 上,$AD$ 与 $HG$ 的交点为 $M$.

(1) 求证：$\frac{AM}{AD}= \frac{HG}{BC}$；
(2) 求矩形 $EFGH$ 的周长.

答案：
(1)证明：
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG//EF，
∵EF在BC上，
∴HG//BC，
∴△AHG∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，AM是△AHG的高，
∴相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$。
(2)设矩形EFGH的宽$HE=x\ \mathrm{cm}$，则长$HG=2x\ \mathrm{cm}$，
∵四边形EFGH是矩形，
∴$HE=MD=x$，
∵$AD=30\ \mathrm{cm}$，
∴$AM=AD-MD=30-x$，
由
(1)得$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
∵$BC=40\ \mathrm{cm}$，
∴$\frac{30-x}{30}=\frac{2x}{40}$，
化简得$\frac{30-x}{30}=\frac{x}{20}$，
交叉相乘得$20(30-x)=30x$，
解得$x=12$，则$HG=2x=24\ \mathrm{cm}$，
矩形EFGH的周长为$2×(24+12)=72\ \mathrm{cm}$。
答：矩形EFGH的周长为$72\ \mathrm{cm}$。

1. 已知两个相似三角形对应边上的中线的比为 $3:2$,则其相应面积之比为(C)
A.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
B.$3:2$
C.$9:4$
D.不能确定

答案： C

2. 如图,已知 $D$,$E$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$,$AC$ 上的点,且 $DE// BC$,$BE$ 交 $DC$ 于点 $F$. 若 $EF:FB = 1:3$,则 $\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}$ 的值为(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{27}$

答案： B

3. 如图,已知 $D$,$E$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$,$BC$ 上的点,且 $DE// AC$,$AE$,$CD$ 相交于点 $O$,若 $S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA}= 1:25$,则 $S_{\triangle BDE}$ 与 $S_{\triangle CDE}$ 的比是(B)

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:5$
D.$1:25$

答案： B