《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 如果 $ x = 4 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x = a^{2} $ 的一个根,那么常数 $ a $ 的值是(±2)
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm 4 $

答案： 1. C 将x=4代入方程,得16-3×4=a²,解得a=±2.

2. 一元二次方程 $ (x - 1)^{2} = 2 $ 的解是(B)
A.$ x_{1} = -1 - \sqrt{2} $,$ x_{2} = -1 + \sqrt{2} $
B.$ x_{1} = 1 - \sqrt{2} $,$ x_{2} = 1 + \sqrt{2} $
C.$ x_{1} = 3 $,$ x_{2} = -1 $
D.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = -3 $

答案： 2. B x-1=±√2,x=1±√2,即x₁=1-√2,x₂=1+√2.

3. 用配方法解方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 时,配方结果正确的是(B)
A.$ (x + 2)^{2} = 2 $
B.$ (x + 1)^{2} = 2 $
C.$ (x + 2)^{2} = 3 $
D.$ (x + 1)^{2} = 3 $

答案： 3. B

4. 一种药品原价 $ 25 $ 元每盒,经过两次降价后 $ 16 $ 元每盒。设两次降价的百分率都为 $ x $,则 $ x $ 满足(D)
A.$ 16(1 + 2x) = 25 $
B.$ 25(1 - 2x) = 16 $
C.$ 16(1 + x)^{2} = 25 $
D.$ 25(1 - x)^{2} = 16 $

答案： 4.D

5. 下列选项中,能使关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-4x + c = 0 $ 一定有实数根的是(D)
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a = 0 $
C.$ c ＞ 0 $
D.$ c = 0 $

答案： 5. D 由题意,得Δ=(-4)²-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,故ac≤4,且a≠0.显然,四个选项中只有c=0时,一定满足ac=0≤4.

6. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-mx + 2m - 1 = 0 $ 的两个实数根分别是 $ x_{1} $,$ x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7 $,则 $ (x_{1}-x_{2})^{2} $ 的值是(C)
A.$ 1 $
B.$ 12 $
C.$ 13 $
D.$ 25 $

答案： 6. C

7. 在正数范围内定义一种新运算“$ * $”,其运算规则是 $ a * b = 2(a + b)-3ab $,根据这个规则,方程 $ x*(x + 1) = 0 $ 的解是(1)
A.$ x = \frac{2}{3} $
B.$ x = 1 $
C.$ x = -\frac{2}{3} $ 或 $ x = 1 $
D.$ x = \frac{2}{3} $ 或 $ x = -1 $

答案： 7. C 根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x²-x-2=0,解得x₁=-2/3,x₂=1.

8. 定义：如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 满足 $ a + b + c = 0 $,那么我们称这个方程为“凤凰”方程。已知 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是(A)
A.$ a = c $
B.$ a = b $
C.$ b = c $
D.$ a = b = c $

答案： 8. A 因为方程有两个相等的实数根,所以b²-4ac=0.又因为a+b+c=0,所以[-(a+c)]²-4ac=0,化简,得(a-c)²=0.所以a=c.

9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + c = 0 $ 有两个相等的实数根,则实数 $ c $ 的值为1.

答案： 9. 1