《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

7. 证明：不论 $ m $ 为何值,关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - ( 4 m - 1 ) x - m ^ { 2 } - m = 0 $ 总有两个不相等的实数根.

答案： 要证明不论 $ m $ 为何值，方程 $ 2x^2 - (4m - 1)x - m^2 - m = 0 $ 总有两个不相等的实数根，需计算判别式 $ \Delta $ 并证明其恒大于 0。
1. 计算判别式：
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $。
其中 $ a = 2 $，$ b = -(4m - 1) $，$ c = -m^2 - m $。
$ \begin{aligned} \Delta &= [-(4m - 1)]^2 - 4 × 2 × (-m^2 - m) \\ &= (4m - 1)^2 + 8(m^2 + m) \\ &= 16m^2 - 8m + 1 + 8m^2 + 8m \\ &= 24m^2 + 1 \end{aligned} $
2. 证明 $ \Delta ＞ 0 $：
因为 $ m^2 \geq 0 $，所以 $ 24m^2 \geq 0 $，则 $ 24m^2 + 1 \geq 1 ＞ 0 $。
即无论 $ m $ 为何值，$ \Delta ＞ 0 $。
结论：该方程总有两个不相等的实数根。

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ k ^ { 2 } x ^ { 2 } + ( 2 k - 1 ) x + 1 = 0 $ 有两个实数根,求实数 $ k $ 的取值范围.

答案： 要使方程$k^2x^2 + (2k - 1)x + 1 = 0$有两个实数根，需满足以下条件：
1. 方程为一元二次方程：二次项系数不为0，即$k^2 \neq 0$，解得$k \neq 0$。
2. 判别式$\Delta \geq 0$：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，$\Delta = b^2 - 4ac$。
此处$a = k^2$，$b = 2k - 1$，$c = 1$，则
$\Delta = (2k - 1)^2 - 4 \cdot k^2 \cdot 1 = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 = -4k + 1$。
令$\Delta \geq 0$，即$-4k + 1 \geq 0$，解得$k \leq \frac{1}{4}$。
综上，$k$的取值范围为$k \leq \frac{1}{4}$且$k \neq 0$。
$k \leq \frac{1}{4}$且$k \neq 0$

9. 已知 $ □ A B C D $ 的两边 $ A B $,$ A D $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - m x + \frac { m } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } = 0 $ 的两个实数根.
(1)当 $ m $ 为何值时,四边形 $ A B C D $ 是菱形？求出此时菱形的边长；
(2)若 $ A B $ 的长是 $ 2 $,则 $ □ A B C D $ 的周长是多少？

答案：
(1)
当四边形$ABCD$是菱形时，$AB = AD$，即方程$x^{2}-mx + \frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根。
所以$\Delta =b^{2}-4ac = (-m)^{2}-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}) = 0$，
$m^{2}-2m + 1=0$，
$(m - 1)^{2}=0$，
解得$m = 1$。
将$m = 1$代入原方程得$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$，
$(x-\frac{1}{2})^{2}=0$，
解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
所以当$m = 1$时，四边形$ABCD$是菱形，此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
(2)
因为$AB$的长是$2$，所以$x = 2$是方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的一个根。
把$x = 2$代入方程得$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，
$4-\frac{1}{4}=2m-\frac{m}{2}$，
$\frac{15}{4}=\frac{3m}{2}$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
原方程为$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=0$，
$x^{2}-\frac{5}{2}x + 1=0$，
设$AB=x_{1}=2$，$AD=x_{2}$，由根与系数的关系$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}$，则$2+x_{2}=\frac{5}{2}$，解得$x_{2}=\frac{1}{2}$。
所以$□ABCD$的周长为$2×(2+\frac{1}{2}) = 5$。
综上，答案为：
(1)$m = 1$，边长为$\frac{1}{2}$；
(2)周长为$5$。

1. 当 $ b^{2}-4ac $大于或等于0 时,方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $的实数根可写为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫做一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $的结果. 解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

答案： 大于或等于；$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；配方；系数

2. 一元二次方程 $ 2x^{2}-3x-2 = 0 $中,$ a = $2,$ b = $-3,$ c = $-2,方程的根是$x_{1}=2,x_{2}=-\frac{1}{2}$.

答案： $a = 2$，$b = -3$，$c = -2$，方程的根是$x_1 = 2,x_2=-\frac{1}{2}$（按照题目横线顺序，答案依次为2；-3；-2；$x_{1}=2,x_{2}=-\frac{1}{2}$ ） 。