《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

3. 如图,已知AB是⊙O的直径,点C,D,E在⊙O上,若∠AED = 20°,则∠BCD的度数为(B)

A.100°
B.110°
C.115°
D.120°

答案： B

4. 如图,已知BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AD}$,AC交BD于点G.若∠COD = 126°,则∠AGB的度数为(B)

A.99°
B.108°
C.110°
D.117°

答案： B

5. 如图,已知BC是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED = α,∠AOD = β,则(D)

A.3α + β = 180°
B.2α + β = 180°
C.3α - β = 90°
D.2α - β = 90°

答案： D

6. 如图,已知⊙O的半径为5,AB为弦,点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,若∠ABC = 30°,则弦AB的长为$5\sqrt{3}$.

答案： $5\sqrt{3}$

7. 如图,已知AB = AC = AD,∠CBD = 2∠BDC,∠BAC = 44°,则∠CAD的度数为88°.

答案： 88°

8. 如图,已知$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{AC}$,点P为劣弧$\overset{\frown}{BC}$上的一点.
(1)求∠BPC的度数；
(2)求证：PA = PB + PC.

答案：
(1)
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}=120°$，优弧$\overset{\frown}{BAC}=360°-120°=240°$。
∵∠BPC是优弧$\overset{\frown}{BAC}$所对的圆周角，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}×240°=120°$。
(2)在PA上截取PD=PB，连接BD。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴AB=BC=AC，∠BAC=60°。
∠BPA=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=60°$（圆周角定理）。
∵PD=PB，∠BPA=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PB=BD，∠PBD=60°。
∵∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠PBD，
∴∠ABD=∠CBP（等式性质）。
在△ABD和△CBP中，$\begin{cases}AB=CB\\\angle ABD=\angle CBP\\BD=BP\end{cases}$，
∴△ABD≌△CBP(SAS)，
∴AD=PC。
∵PA=PD+AD，PD=PB，AD=PC，
∴PA=PB+PC。

★9. 如图,△ABC的三个顶点都在⊙O上,并且点C是优弧$\overset{\frown}{AmB}$上一点(点C不与点A,B重合).设∠OAB = α,∠C = β.

(1)当α = 35°时,求β的度数；
(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.

答案：
(1)
连接$OB$。
因为$OA = OB$，$\angle OAB=\alpha = 35^{\circ}$，
所以$\angle OBA=\angle OAB = 35^{\circ}$，
则$\angle AOB=180^{\circ}-2×35^{\circ}=110^{\circ}$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\angle C=\beta=\frac{1}{2}\angle AOB = 55^{\circ}$。
(2)
$\beta = 90^{\circ}-\alpha$。
证明：
连接$OB$。
因为$OA = OB$，$\angle OAB=\alpha$，
所以$\angle OBA=\angle OAB=\alpha$，
则$\angle AOB = 180^{\circ}-2\alpha$。
由圆周角定理可知，$\angle C=\beta=\frac{1}{2}\angle AOB$，
所以$\beta=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha$。