《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

2. 已知 $ x = 1 $是一元二次方程 $ (m - 2)x^{2}+4x - m^{2} = 0 $的一个根,则 $ m $的值为(B)
A.$ -1 $或 $ 2 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ 0 $

答案： B

3. 若实数 $ a,b 满足 (a + b)^{2}+a + b - 2 = 0 $,则 $ (a + b)^{2} $的值为(D)
A.$ 4 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $或 $ 1 $
D.$ 4 $或 $ 1 $

答案： D

4. 当 $ x = $5或$- 3$时,多项式 $ x^{2}-2x-3 $的值为 $ 12 $.

答案： $5$或$- 3$

5. 已知 $ \sqrt{a - 2}+(c + 3)^{2} = 0 $,则关于 $ x $的方程 $ ax^{2}-x + c = 0 $的两根分别为$-1,\frac{3}{2}$（或 $\frac{3}{2},-1$ 顺序不限）.

答案： $-1,\frac{3}{2}$（或 $\frac{3}{2},-1$ 顺序不限）

6. 有一张长方形的桌子,长为 $ 3m $,宽为 $ 2m $,长方形桌布的面积是桌面面积的 $ 2 $倍,且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同,则桌布长为4m,宽为3m.

答案： 设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为 $x$ 米。
桌面的长为 $3$ 米，宽为 $2$ 米，所以桌面的面积为 $3 × 2 = 6(m^2)$。
桌布的面积是桌面面积的 $2$ 倍，即 $2 × 6 = 12 (m^2)$。
桌布的长和宽分别比桌面的长和宽多 $2x$，因此桌布的长为 $3 + 2x$，宽为 $2 + 2x$。
根据桌布面积公式，有：
$(3 + 2x)(2 + 2x) = 12$
展开得：
$6 + 4x + 6x + 4x^2 = 12$
$4x^2 + 10x - 6 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
通过公式法解一元二次方程，得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中，$a = 2, b = 5, c = -3$。
代入得：
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$
$x = \frac{-5 \pm 7}{4}$
得到两个解：
$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -3$
由于 $x$ 表示垂下的长度，不能为负，所以 $x = \frac{1}{2}$。
因此，桌布的长为 $3 + 2 × \frac{1}{2} = 4(m)$，宽为 $2 + 2 × \frac{1}{2} = 3(m)$。
故答案为：长为 $4m$；宽为 $3m$。

7. 若关于 $ x $的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,则方程必有一根为-1.

答案： -1

8. 用公式法解方程：
(1)$ x^{2}+x-1 = 0 $；
(2)$ 2x^{2} = 1 - 3x $.

答案： 答题卡：
(1) 解：
对于方程 $x^{2} + x - 1 = 0$，
$a = 1, b = 1, c = -1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 × 1 × (-1) = 5 ＞ 0$，
所以，$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，
即 $x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$。
(2) 解：
对于方程 $2x^{2} = 1 - 3x$，整理得 $2x^{2} + 3x - 1 = 0$，
$a = 2, b = 3, c = -1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 × 2 × (-1) = 17 ＞ 0$，
所以$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$，
即 $x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$。

★9. 已知关于 $ x $的方程 $ 2x^{2}+kx-10 = 0 $的一个根为 $ \frac{5}{2} $,求它的另一个根及 $ k $的值.

答案： 设方程的另一根为$x_1$。
根据根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，有：
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
在本题中，方程为$2x^2 + kx - 10 = 0$，所以$a = 2$，$c = -10$。
已知一个根为$\frac{5}{2}$，代入上述关系式得：
$x_1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{-10}{2} = -5$，
解得：
$x_1 = -2$，
再根据根的和的关系式：
$x_1 + \frac{5}{2} = -\frac{k}{2}$，
代入$x_1 = -2$得：
$-2 + \frac{5}{2} = -\frac{k}{2}$，
解得：
$k = -1$，
综上，方程的另一根为$-2$，$k$的值为$-1$。

1. 在解一元二次方程时,不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次。这种解法叫做因式分解法。

答案： 因式分解；0；0；降次；因式分解法

2. 方程$(x - 1)(x + 2) = 0$的两根分别为(D)
A.$x_1 = - 1$,$x_2 = 2$
B.$x_1 = 1$,$x_2 = 2$
C.$x_1 = - 1$,$x_2 = - 2$
D.$x_1 = 1$,$x_2 = - 2$

答案： D

3. 配方法要先配方,再降次；通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘,另一边为$0$,再分别使各一次因式等于$0$。配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。总之,解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程,即降次。

答案： 配方；求根公式；所有；降次