《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 下列方程中,两个实数根之和为 $ 2 $ 的一元二次方程是(C)
A.$ x^{2}+2x - 3 = 0 $
B.$ x^{2}-2x + 3 = 0 $
C.$ x^{2}-2x - 3 = 0 $
D.$ x^{2}+2x + 3 = 0 $

答案： C

2. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+bx - 3 = 0 $ 的两根,且满足 $ x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}= 5 $,则 $ b $ 的值为(A)
A.4
B.$ -4 $
C.3
D.$ -3 $

答案： A

3. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $ 的两根,则 $ \frac{1}{x_{1}x_{2}}= $$-1$。

答案： $-1$ (如选项为填空则直接填$-1$)

4. 设 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ 2x^{2}+3x - 4 = 0 $ 的两个实数根,则 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $ 的值为$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$（或 填 $0.75$ 对应的形式，若以分数形式给答案则填$\frac{3}{4}$ ）

5. 已知方程 $ x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ \alpha,\beta $,不解方程求下列各式的值。
(1)$ \alpha^{2}+\beta^{2} $；
(2)$ \alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3} $；
(3)$ \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta} $。

答案： 由一元二次方程根与系数的关系知，对于方程$x^{2}+3x - 1 = 0$，$\alpha+\beta=-3$，$\alpha\beta = - 1$。
(1)
$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha + \beta)^{2}-2\alpha\beta$
将$\alpha+\beta=-3$，$\alpha\beta = - 1$代入上式得：
$\alpha^{2}+\beta^{2}=(-3)^{2}-2×(-1)=9 + 2=11$
(2)
$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}=\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})$
把$\alpha\beta = - 1$，$\alpha^{2}+\beta^{2}=11$代入得：
$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}=-1×11=-11$
(3)
$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha\beta}$
将$\alpha^{2}+\beta^{2}=11$，$\alpha\beta = - 1$代入得：
$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{11}{-1}=-11$
综上，答案依次为：
(1)$11$；
(2)$-11$；
(3)$-11$。