《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

2. 如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠A = 60°,∠B = 24°,则∠C的度数为(A)

A.84°
B.60°
C.36°
D.24°

答案： A

3. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是(B)

A.AB = AD
B.BC = CD
C.$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AD}$
D.∠BCA = ∠DCA

答案： B

4. 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD = 120°,则∠BOD的大小是(B)

A.80°
B.120°
C.100°
D.90°

答案： B

5. 如图,点A,B,C,D在圆上,AB = 8,BC = 6,AC = 10,CD = 4,则AD = 2√21.

答案： 2√21

6. 如图,⊙O的直径AB = 8 cm,∠CBD = 30°,求弦CD的长.

答案： 4cm。

7. 已知⊙O的直径为10,点A,B,C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(1)如图①,若∠CAB = 90°,AB = 6,求AC,BD,CD的长；
(2)如图②,若∠CAB = 60°,求BD的长.

答案：
(1)
因为$\odot O$的直径为$10$，$\angle CAB = 90^{\circ}$，所以$BC$是$\odot O$的直径，$BC = 10$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 6$，根据勾股定理$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，$\angle CAB = 90^{\circ}$，所以$\angle CAD=\angle BAD = 45^{\circ}$。
根据同弧所对的圆周角相等以及圆周角定理，$\angle CBD=\angle CAD = 45^{\circ}$，$\angle BCD=\angle BAD = 45^{\circ}$，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\triangle BCD$是等腰直角三角形。
$BC = 10$，则$BD = CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$。
(2)
连接$OB$，$OD$，$BD$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，$\angle CAB = 60^{\circ}$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle CAB = 30^{\circ}$。
根据同弧所对的圆周角相等，$\angle BOD = 2\angle BAD = 60^{\circ}$。
又因为$OB = OD$，所以$\triangle BOD$是等边三角形。
已知$\odot O$的直径为$10$，则半径$OB = OD = 5$，所以$BD = OB = 5$。
综上，
(1)中$AC = 8$，$BD = 5\sqrt{2}$，$CD = 5\sqrt{2}$；
(2)中$BD$的长为$5$。

1. 如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠APC = 28°,则∠BOC的度数为(D)

A.14°
B.28°
C.42°
D.56°

答案： D

2. 如图,A是⊙O上一点,BC是直径,AC = 2,AB = 4,点D在⊙O上且平分$\overset{\frown}{BC}$,则DC的长为(D)

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$

答案： D