《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

8. 如图,把抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 平移得到抛物线 $ m $,已知抛物线 $ m $ 经过点 $ A(-6, 0) $ 和原点 $ O(0, 0) $,它的顶点为 $ P $,它的对称轴与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 交于点 $ Q $,则图中阴影部分的面积为$\frac{27}{2}$.

答案： $\frac{27}{2}$

9. 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $ 在二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 1 $ 的图象上,若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 1 $,则 $ y_1 $＞$ y_2 $.

答案： ＞

10. 下列关于二次函数 $ y = -(x - m)^2 + m^2 + 1 $($ m $ 为常数)的结论：①该函数的图象与函数 $ y = -x^2 $ 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $ (0, 1) $；③当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象上. 其中所有正确结论的序号是①②④.

答案： ①②④

11. 已知 $ y = a(x - t - 1)^2 + t^2 $($ a $,$ t $ 是常数,$ a \neq 0 $,$ t \neq 0 $)的图象的顶点是 $ A $,$ y = (x - 1)^2 $ 的图象的顶点是 $ B $.
(1) 判断点 $ A $ 是否在 $ y = (x - 1)^2 $ 的图象上,并说明理由.
(2) 若 $ y = a(x - t - 1)^2 + t^2 (a \neq 0, t \neq 0) $ 的图象经过点 $ B $,求 $ a $ 的值.

答案：
(1) 是；
(2) $a=-1$。

1. 对于二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $,
它的图象是一条抛物线.
对称轴是直线$x =-\frac{b}{2a}$,顶点坐标是($-\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$).
①当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点.在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
②当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案： 抛物线；$x =-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；①上，低，减小，增大；②下，高，增大，减小。

2. 已知二次函数 $ y = x^{2}+bx + 3 $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $,则 $ b = $-4.

答案： -4

3. 求二次函数的解析式 $ y = ax^{2}+bx + c $,需求出$a$，$b$，$c$的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于$a$，$b$，$c$的方程组,并求出$a$，$b$，$c$的值,就可以写出二次函数的解析式.

答案： $a$，$b$，$c$；$a$，$b$，$c$；$a$，$b$，$c$

4. 已知二次函数的图象经过点 $ A(0,-3) $,$ B(2,-3) $,$ C(-1,0) $,则此二次函数的关系式是$y = x^{2} - 2x - 3$（或$y = (x - 1)^{2} - 4$）,图象的顶点坐标是$(1, -4)$.

答案： 此二次函数的关系式是 $y = x^{2} - 2x - 3$（或写为$y = (x - 1)^{2} - 4$），图象的顶点坐标是 $(1, -4)$。（由于题目要求填空，故第一空填$y = x^{2} - 2x - 3$（或等价的顶点式），第二空填$(1, -4)$）