《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

6. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $(k为常数, $ k \neq 0 $)的图象经过点 $ P(3, 3) $,O为坐标原点.
(1)求实数k的值；
(2)过点P作 $ PM \perp x $ 轴于点M,若点Q在反比例函数的图象上,并且 $ S_{\triangle QOM} = 6 $,试求点Q的坐标.

答案：
(1)将点P(3,3)代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，解得$k=9$。
(2)由
(1)知反比例函数解析式为$y=\frac{9}{x}$。
点P(3,3)，PM⊥x轴于M，
∴M(3,0)，OM=3。
设Q(m,n)，
∵Q在反比例函数图象上，
∴$n=\frac{9}{m}$。
$S_{\triangle QOM}=\frac{1}{2}× OM×|n|=6$，即$\frac{1}{2}×3×|n|=6$，解得$|n|=4$，$n=\pm4$。
当$n=4$时，$4=\frac{9}{m}$，$m=\frac{9}{4}$，Q($\frac{9}{4}$,4)；
当$n=-4$时，$-4=\frac{9}{m}$，$m=-\frac{9}{4}$，Q($-\frac{9}{4}$,-4)。
综上，点Q的坐标为($\frac{9}{4}$,4)或($-\frac{9}{4}$,-4)。

1. 若反比例函数 $ y = \frac{3k - 1}{x} $ 的图象位于第二、第四象限,则实数k的取值范围是(B)
A.$ k ＞ \frac{1}{3} $
B.$ k ＜ \frac{1}{3} $
C.$ k = \frac{1}{3} $
D.不存在

答案： B

2. 若点 $ A(a - 1, y_1) $, $ B(a + 1, y_2) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k ＜ 0) $ 的图象上,且 $ y_1 ＞ y_2 $,则实数a的取值范围是(B)
A.$ a ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ 1 $
D.$ a ＜ -1 $ 或 $ a ＞ 1 $

答案： B

3. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 在第一象限的图象如图所示,则实数k的值可能是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

4. 如图,已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ A(-1, -2) $. 则当 $ x ＞ 1 $ 时,函数值y的取值范围是(D)

A.$ y ＞ 1 $
B.$ 0 ＜ y ＜ 1 $
C.$ y ＞ 2 $
D.$ 0 ＜ y ＜ 2 $

答案： D

5. 一个反比例函数具有下列性质：
①它的图象经过点(-1, 1)；②它的图象在第二、第四象限内,且在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则这个反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$.

答案： $y=-\dfrac{1}{x}$

6. 如图,已知双曲线 $ y = \frac{k}{x} (k ＜ 0) $ 经过 $ Rt\triangle OAB $ 斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C. 若点A的坐标为(-6, 4),则 $ \triangle AOC $ 的面积为9.

答案： 1. 求OA中点D的坐标：点O(0,0)，点A(-6,4)，中点D坐标为$\left(\frac{0+(-6)}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(-3,2)$。
2. 求k值：D在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，代入D(-3,2)得$2=\frac{k}{-3}$，解得$k=-6$，双曲线方程为$y=-\frac{6}{x}$。
3. 确定直角边AB：因OA为斜边，直角顶点B，AB⊥x轴，故B(-6,0)，AB所在直线为x=-6。
4. 求点C坐标：联立$x=-6$与$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{-6}=1$，故C(-6,1)。
5. 计算$\triangle AOC$面积：A(-6,4)，C(-6,1)，AC=|4-1|=3，O到AC距离为6，面积$=\frac{1}{2}×3×6=9$。
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