《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 为使公司生产时达到环保的目的,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,若池底矩形的周长为100m,则池底的最大面积是(B)
A.$ 600m^{2} $
B.$ 625m^{2} $
C.$ 650m^{2} $
D.$ 675m^{2} $

答案： B

2. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园 $ ABCD $(篱笆只围 $ AB $, $ BC $ 两边),设 $ AB = x $ m。若在 $ P $ 处有一棵树与墙 $ CD $, $ AD $ 的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积 $ S $ 的最大值为(B)

A.$ 196m^{2} $
B.$ 195m^{2} $
C.$ 190m^{2} $
D.$ 180m^{2} $

答案： B

3. 某青年企业家准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村,并将其全部利润用于当地建设。据测算,若每个房间的定价为60元/天,则房间将会住满；每个房间的定价每增加5元/天,就会有一个房间空闲。度假村对旅客住宿的房间每间将支出各种费用20元/天(没住宿的不支出),当房价定为(C)元/天时,度假村的利润最大。
A.110
B.105
C.115
D.120

答案： C

4. 某商店销售一批头盔,售价为80元每顶,每月可售出200顶。在某活动期间,计划将头盔降价销售,经调查发现：每降价1元,每月可多售出20顶。已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 70 元。

答案： 70

5. 有这样一个例题：
有一个窗户的形状如图①所示,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积的最大值约为 $ 1.05m^{2} $。
如果我们改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图②,材料总长仍为6m,利用图③,解答下列问题：
(1) 若 $ AB $ 为1m,求此时窗户的透光面积；
(2) 与该例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。

答案：
(1) 设正方形边长为$x$，则$AB=2x$，当$AB=1m$时，$x=0.5m$。
材料总长：$9x + 2y = 6$，得$y=3-\frac{9}{2}x$。
代入$x=0.5$，$y=3-\frac{9}{2}×0.5=0.75m$。
透光面积$S=2x^2 + 2x\cdot y=2×0.5^2 + 2×0.5×0.75=1.25m^2$。
(2) $S=-7x^2 + 6x$，$a=-7＜0$，对称轴$x=\frac{3}{7}$。
最大值$S_{max}=-7×(\frac{3}{7})^2 + 6×\frac{3}{7}=\frac{9}{7}\approx1.29m^2$。
$1.29＞1.05$，故最大值变大。
(1) $1.25m^2$；
(2) 最大值变大。