《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 已知某圆锥的底面半径为$4\mathrm{cm}$,高为$5\mathrm{cm}$,则它的表面积为(D)
A.$12\pi\mathrm{cm}^2$
B.$26\pi\mathrm{cm}^2$
C.$\sqrt{41}\pi\mathrm{cm}^2$
D.$(4\sqrt{41}+16)\pi\mathrm{cm}^2$

答案： D

2. 用纸板制作的一个圆锥模型如图所示,它的底面半径$r = 1$,高$h = 2\sqrt{2}$,则这个圆锥的侧面积是(B)

A.$4\pi$
B.$3\pi$
C.$\pi$
D.$2\pi$

答案： B

3. 用半径为$3\mathrm{cm}$,圆心角是$120^{\circ}$的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为(D)
A.$2\pi\mathrm{cm}$
B.$1.5\mathrm{cm}$
C.$\pi\mathrm{cm}$
D.$1\mathrm{cm}$

答案： D

4. 已知圆锥的侧面展开图的弧长为$6\pi\mathrm{cm}$,圆心角为$216^{\circ}$,则此圆锥的母线长为5$\mathrm{cm}$.

答案： $5$

5. 右面是一个圆锥的轴截面,则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为90.

答案： 90

6. 一个圆锥的高为$3$,侧面展开图是半圆,求：
(1)圆锥的母线与底面半径之比；
(2)圆锥的全面积.

答案：
(1)
设圆锥的母线长为 $l$，底面半径为 $r$。
圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于圆锥底面的周长，即 $\pi l = 2\pi r$。
由此可得 $\frac{l}{r} = 2$，即圆锥的母线与底面半径之比为 $2:1$。
(2)
已知圆锥的高 $h = 3$，由勾股定理，圆锥的高、母线、底面半径满足 $l^{2} = h^{2} + r^{2}$。
将 $h = 3$ 和 $l = 2r$ 代入 $l^{2} = h^{2} + r^{2}$，可得 $(2r)^{2} = 3^{2} + r^{2}$。
$4r^{2} = 9 + r^{2}$，
$3r^{2} = 9$，
$r^{2} = 3$，
解得 $r = \sqrt{3}$（负值舍去），则 $l = 2\sqrt{3}$。
圆锥的全面积 $S = \pi r^{2} + \frac{1}{2} × 2\pi l × \frac{l}{2}（半圆面积公式）$，这里侧面展开图半圆半径为$l$，根据半圆面积公式$S_{侧}=\frac{1}{2}\pi l^{2}$，底面积$S_{底}=\pi r^{2}$。
将 $r = \sqrt{3}$，$l = 2\sqrt{3}$ 代入可得：
$S=\pi×(\sqrt{3})^{2}+\frac{1}{2}×\pi×(2\sqrt{3})^{2}$
$ = 3\pi + 6\pi$
$ = 9\pi$
综上，（1）圆锥的母线与底面半径之比为 $2:1$；（2）圆锥的全面积为 $9\pi$。

1. 若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,正圆锥侧面展开图的圆心角的度数为(D)
A.$90^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$180^{\circ}$

答案： D

2. 如图,已知一块圆心角为$270^{\circ}$的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),若圆锥底面圆的直径是$60\mathrm{cm}$,则这块扇形铁皮的半径是(A)

A.$40\mathrm{cm}$
B.$50\mathrm{cm}$
C.$60\mathrm{cm}$
D.$80\mathrm{cm}$

答案： A