《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 如图,已知$AB// CD$,$AC$,$BD交于点O$,$BO = 7$,$DO = 3$,$AC = 25$,则$AO$的长为(D)

A.$10$
B.$12.5$
C.$15$
D.$17.5$

答案： D

2. 已知有两个三角形如图①②所示,其边长或角的度数已在图中标注,图②中$AB$,$CD交于点O$,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是(A)

A.都相似
B.都不相似
C.只有①相似
D.只有②相似

答案： A

3. 一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为$8\mathrm{cm}和15\mathrm{cm}$,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是$6\mathrm{cm}和\frac{45}{4}\mathrm{cm}$,这两个直角三角形是相似三角形.(填“是”或“不是”)

答案： 是

4. 如图,在$□ ABCD$中,$E是边BC$上的点,$AE交BD于点F$. 如果$\frac{BE}{BC} = \frac{2}{3}$,那么$\frac{BF}{FD} = $$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$BE\perp AC$,垂足分别为$D$,$E$,$AD与BE相交于点F$.

(1)求证：$\triangle ACD\backsim\triangle BFD$；
(2)当$\angle ABD = 45^{\circ}$,$AC = 3$时,求$BF$的长.

答案：
(1)
证明：
$\because AD\perp BC$，$BE\perp AC$
$\therefore \angle ADB = \angle ADC = \angle BEC = 90^{\circ}$
$\because \angle C + \angle CBE = 90^{\circ}$，$\angle C + \angle CAD = 90^{\circ}$
$\therefore \angle CBE = \angle CAD$
在$\triangle ACD$与$\triangle BFD$中
$\angle ADC = \angle BDF$，$\angle CAD = \angle FBD$
$\therefore \triangle ACD\backsim\triangle BFD$
(2)
$\because \angle ABD = 45^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$
$\therefore \triangle ABD$是等腰直角三角形
$\therefore AD = BD$
由
(1)知$\triangle ACD\backsim\triangle BFD$
$\therefore\frac{AC}{BF}=\frac{AD}{BD}$
$\because AD = BD$
$\therefore\frac{AC}{BF}=1$
$\because AC = 3$
$\therefore BF = 3$

1. 如图,下列四个选项中不一定成立的是(C)

A.$\triangle COD\backsim\triangle AOB$
B.$\triangle AOC\backsim\triangle BOD$
C.$\triangle DCA\backsim\triangle BAC$
D.$\triangle PCA\backsim\triangle PBD$

答案： C

2. 在$\triangle ABC$中,$P是AB$上的动点($P异于A$,$B$),过点$P的一条直线截\triangle ABC$,使截得的三角形与$\triangle ABC$相似,我们不妨称这种直线为过点$P的\triangle ABC$的相似线. 如图,$\angle A = 36^{\circ}$,$AB = AC$,当点$P在AC$的垂直平分线上时,过点$P的\triangle ABC$的相似线最多有(C)

A.$1$条
B.$2$条
C.$3$条
D.$4$条

答案： C

3. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D为BC$边上一点,$E为AC$边上一点,且$\angle ADE = 60^{\circ}$,$BD = 3$,$CE = 2$,则$\triangle ABC$的边长为(A)

A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$

答案： A