《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

3. 已知实数$a$,$b满足a^{2}-3a + 1= 0$,$b^{2}-3b + 1= 0$,则关于一元二次方程$x^{2}-3x + 1= 0$的解的说法正确的是(D)
A.$x = a$,$x = b$都不是该方程的解
B.$x = a$是该方程的解,$x = b$不是该方程的解
C.$x = a$不是该方程的解,$x = b$是该方程的解
D.$x = a$,$x = b$都是该方程的解

答案： D

4. 若关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}+x+|m| - 1= 0有一个根为0$,则$m$的值为(B)
A.$1$
B.$-1$
C.$1或-1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： B

5. 已知方程：$x^{2}+x = y$,$\sqrt{5}x - 7x^{2}= 8$,$x^{2}+y^{2}= 1$,$(x - 1)(x - 2)= 0$,$x^{2}-\frac{1}{x}= 6$,其中一元二次方程的个数为2。

答案： 2

6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为$864$平方步,它的宽比长少$12$步,问它的宽多少步？利用方程思想,设宽为$x$步,则依题意列方程为$x(x + 12) = 864$。(“步”是非标准计量单位)

答案： $x(x + 12) = 864$

7. 小刚在写作业时,不小心将方程$3x^{2}-□ x - 5= 0$的一次项系数用墨水盖住了,但从题目的答案中,他知道方程的一个解为$x = 5$,请你帮助小刚求出被覆盖的数。
设被覆盖的数为$a$，
将$x = 5$代入方程$3x^{2} - ax - 5 = 0$，
得：$3 × 5^{2} - 5a - 5 = 0$，
即：$75 - 5a - 5 = 0$，
合并同类项得：$70 - 5a = 0$，
移项得：$-5a = -70$，
系数化为$1$得：$a = 14$。
所以被覆盖的数为$14$。

答案： 设被覆盖的数为$a$，
将$x = 5$代入方程$3x^{2} - ax - 5 = 0$，
得：$3 × 5^{2} - 5a - 5 = 0$，
即：$75 - 5a - 5 = 0$，
合并同类项得：$70 - 5a = 0$，
移项得：$-5a = -70$，
系数化为$1$得：$a = 14$。
所以被覆盖的数为$14$。

8. 根据下列问题,列出关于$x$的方程,并将其化成$ax^{2}+bx + c= 0(a\neq0)$的形式。
(1)两个连续偶数的积为$168$,求较小的偶数$x$；
(2)一个直角三角形的两条直角边的长的和是$20$,面积是$25$,求其中一条直角边的长$x$。

答案：
(1)
设较小的偶数为$x$，则另一个偶数为$x + 2$。
根据题意可得：$x(x + 2) = 168$，
展开得：$x^{2}+2x - 168 = 0$。
(2)
设其中一条直角边的长为$x$，则另一条直角边的长为$20 - x$。
根据直角三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}x(20 - x)=25$，
去分母得：$x(20 - x)=50$，
展开得：$20x - x^{2}=50$，
移项得：$x^{2}-20x + 50 = 0$。

★9. 已知$a是一元二次方程x^{2}-x - 1= 0$的一个根,求$-a^{3}+2a^{2}+5021$的值。

答案： 由题意，$a$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，
根据方程的定义，有：
$a^{2} - a - 1 = 0$，
从上式，可以得到：
$a^{2} = a + 1$，
进一步，可以求出 $a^{3}$ 的值：
$a^{3} = a \cdot a^{2} = a(a + 1) = a^{2} + a = (a + 1) + a = 2a + 1$，
现在，代入给定的代数式进行计算：
$- a^{3} + 2a^{2} + 5021$
$= - (2a + 1) + 2(a + 1) + 5021$
$= - 2a - 1 + 2a + 2 + 5021$
$= 5022$
故答案为：5022。