《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

5. 在平面直角坐标系中,已知函数 $ y_1 = x^2 + ax + 1 $,$ y_2 = x^2 + bx + 2 $,$ y_3 = x^2 + cx + 4 $,其中 $ a $,$ b $,$ c $ 是正实数,且满足 $ b^2 = ac $. 设函数 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点个数分别为 $ M_1 $,$ M_2 $,$ M_3 $,(B)
A.若 $ M_1 = 2 $,$ M_2 = 2 $,则 $ M_3 = 0 $
B.若 $ M_1 = 1 $,$ M_2 = 0 $,则 $ M_3 = 0 $
C.若 $ M_1 = 0 $,$ M_2 = 2 $,则 $ M_3 = 0 $
D.若 $ M_1 = 0 $,$ M_2 = 0 $,则 $ M_3 = 0 $

答案： B

6. 已知二次函数的图象如图所示,则：

(1) 函数的解析式为y=x²-2x；
(2) 当 $ x = $-1或3时,$ y = 3 $；
(3) 根据图象回答：当 $ x $＜0或＞2时,$ y ＞ 0 $；当 $ x $0＜x＜2时,$ y ＜ 0 $.

答案：
(1)y=x²-2x；
(2)-1或3；
(3)＜0或＞2，0＜x＜2

7. 已知抛物线 $ y = mx^2 + (3 - 2m)x + m - 2 $($ m \neq 0 $)与 $ x $ 轴有两个不同的交点.
(1) 求实数 $ m $ 的取值范围；
(2) 判断点 $ P(1,1) $ 是否在抛物线上；
(3) 当 $ m = 1 $ 时,求抛物线的顶点 $ Q $ 及点 $ P(1,1) $ 关于抛物线的对称轴对称的点 $ P' $ 的坐标.

答案：
(1)
因为抛物线$y = mx^{2}+(3 - 2m)x + m - 2(m\neq0)$与$x$轴有两个不同交点，
所以$\Delta=(3 - 2m)^{2}-4m(m - 2)＞0$，
$9-12m + 4m^{2}-4m^{2}+8m＞0$，
$9-4m＞0$，
$4m＜9$，
解得$m ＜ \frac{9}{4}$且$m\neq0$。
(2)
把$x = 1$代入抛物线$y=mx^{2}+(3 - 2m)x + m - 2$中，
得$y=m+(3 - 2m)+m - 2=m + 3-2m+m - 2=1$。
所以点$P(1,1)$在抛物线上。
(3)
当$m = 1$时，抛物线$y=x^{2}+(3 - 2×1)x+1 - 2=x^{2}+x - 1$。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，
在$y=x^{2}+x - 1$中，$a = 1$，$b = 1$，$c=-1$，
对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$。
根据顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，
$y=\frac{4×1×(-1)-1^{2}}{4×1}=\frac{-4 - 1}{4}=-\frac{5}{4}$，
所以顶点$Q$的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4})$。
设点$P(1,1)$关于$x =-\frac{1}{2}$对称的点$P'(x_0,1)$，
则$\frac{1 + x_0}{2}=-\frac{1}{2}$，
$1+x_0=-1$，
解得$x_0=-2$，
所以点$P'$的坐标为$(-2,1)$。
综上，答案依次为：
(1)$m ＜ \frac{9}{4}$且$m\neq0$；
(2)点$P(1,1)$在抛物线上；
(3)$Q(-\frac{1}{2},-\frac{5}{4})$，$P'(-2,1)$。

8. 已知二次函数 $ y = -\frac{3}{16}x^2 + bx + c $ 的图象经过 $ A(0,3) $,$ B(-4,-\frac{9}{2}) $ 两点.
(1) 求 $ b $,$ c $ 的值；
(2) 二次函数 $ y = -\frac{3}{16}x^2 + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴是否有公共点？若有,求公共点的坐标；若没有,请说明理由.

答案：
(1)
将$A(0,3)$代入$y = -\frac{3}{16}x^{2}+bx + c$得：$3 = c$；
将$B(-4,-\frac{9}{2})$，$c = 3$代入$y = -\frac{3}{16}x^{2}+bx + c$得：
$-\frac{9}{2}=-\frac{3}{16}×(-4)^{2}-4b + 3$
$-\frac{9}{2}=-\frac{3}{16}×16-4b + 3$
$-\frac{9}{2}=-3-4b + 3$
$-\frac{9}{2}=-4b$
$b=\frac{9}{8}$
所以$b=\frac{9}{8}$，$c = 3$。
(2)
由
(1)得二次函数为$y = -\frac{3}{16}x^{2}+\frac{9}{8}x + 3$。
令$y = 0$，则$-\frac{3}{16}x^{2}+\frac{9}{8}x + 3 = 0$，
两边同时乘以$16$得：$-3x^{2}+18x + 48 = 0$，
两边同时除以$-3$得：$x^{2}-6x - 16 = 0$，
其中$a = 1$，$b=-6$，$c = - 16$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×(-16)=36 + 64 = 100\gt0$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{6\pm10}{2}$，
$x_1=\frac{6 + 10}{2}=8$，$x_2=\frac{6-10}{2}=-2$。
所以二次函数图象与$x$轴有公共点，公共点坐标为$(-2,0)$和$(8,0)$。