《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

4. 某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为 $ 120 $ 元. 为寻求合适的销售价格,他们进行了 $ 4 $ 天的试销,试销情况如下表所示：
| 时间 | 第 1 天 | 第 2 天 | 第 3 天 | 第 4 天 |
| 售价 $ x $/元 | $ 150 $ | $ 200 $ | $ 250 $ | $ 300 $ |
| 销售量 $ y $/双 | $ 40 $ | $ 30 $ | $ 24 $ | $ 20 $ |

(1)观察表中数据 $ x $,$ y $ 满足什么函数关系？请求出这个函数的解析式；
(2)若商场计划每天的销售利润为 $ 3000 $ 元,则其单价应定为多少元？

答案： （1）
观察表格数据，计算$xy$的值：
第1天：$150×40 = 6000$；
第2天：$200×30 = 6000$；
第3天：$250×24 = 6000$；
第4天：$300×20 = 6000$。
可以发现$x$与$y$的乘积始终为$6000$，所以$x$，$y$满足反比例函数关系。
设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，把$k = 6000$代入，可得$y=\frac{6000}{x}$。
（2）
设单价应定为$x$元，已知每双进价为$120$元，根据“总利润$=$每双利润$×$销售量”，每双利润为$(x - 120)$元，销售量$y=\frac{6000}{x}$双，可列方程：
$(x - 120)×\frac{6000}{x}=3000$
$6000-\frac{720000}{x}=3000$
$-\frac{720000}{x}=3000 - 6000$
$-\frac{720000}{x}=-3000$
$3000x = 720000$
$x = 240$
经检验，$x = 240$是原分式方程的解，且符合题意。
综上，（1）$x$，$y$满足反比例函数关系，函数解析式为$y=\frac{6000}{x}$；（2）单价应定为$240$元。

(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2)若该工程队有 $ 2 $ 台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠 $ 15 $ 米,则该工程队需用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要,必须在一个月内(按 $ 30 $ 天计算)完成任务,那么每天至少要完成多少米？

答案：
(1) 设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）。
由图象过点 $(24, 50)$，代入解析式得：
$50 = \frac{k}{24}$，
解得：
$k = 1200$，
所以，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \frac{1200}{x}$。
(2) 当 $x = 2 × 15 = 30$（米/天）时，代入 $y = \frac{1200}{x}$ 得：
$y = \frac{1200}{30} = 40$（天），
所以，该工程队需用 $40$ 天才能完成此项任务。
(3) 当 $y = 30$ 时，代入 $y = \frac{1200}{x}$ 得：
$30 = \frac{1200}{x}$，
解得：
$x = 40$，
所以，每天至少要完成 $40$ 米。

1. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 $ 80 km/h $ 的平均速度用了 $ 4 $ 小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度 $ v $(单位：$ km/h $)与时间 $ t $(单位：$ h $)的函数解析式是(B)
A.$ v = 320t $
B.$ v = \frac{320}{t} $
C.$ v = 20t $
D.$ v = \frac{20}{t} $

答案： B

2. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 3 $,$ BC = 4 $,点 $ P $ 在 $ BC $ 边上运动,连接 $ DP $,过点 $ A $ 作 $ AE \perp DP $,垂足为 $ E $,设 $ DP = x $,$ AE = y $,则能反映 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系的图象是(D)

答案： D