《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

7. 儿童节期间,某公园游戏场举行一场活动. 有一种游戏规则是：在一个装有 8 个红球和若干个白球(每个球除颜色外,其他都相同)的不透明袋中,随机摸 1 个球,摸到 1 个红球就得到一个玩具. 已知参加这种游戏的儿童有 40000 人,公园游戏场发放玩具 8000 个.
(1)求参加此次活动得到玩具的频率；
(2)请你估计袋中白球的数量接近多少?

答案：
(1)参加此次活动得到玩具的频率：
根据频率的定义，频率 = （得到玩具的人数）$÷$（参加游戏的总人数）。
已知参加游戏的儿童有$40000$人，公园游戏场发放玩具$8000$个，所以，得到玩具的频率为：
$8000 ÷ 40000 = 0.2$。
(2)估计袋中白球的数量：
设袋中自球有$x$个，
已知袋中有$8$个红球，总球数则为（$8 + x$）个。
摸到红球的概率为红球数量与总球数的比值，即：
$P(红球) = 8 / (8 + x)$
由
(1)知，摸到红球的频率为$0.2$，当试验次数很大时，频率接近概率，所以有：
$8 / (8 + x) = 0.2$
解这个方程，得到：
$8 = 0.2(8 + x)$
$8 = 1.6 + 0.2x$
$0.2x = 6.4$
$x = 32$
经检验，$x = 32$满足方程。
所以袋中白球的数量接近$32$个。

★8. 小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做抛掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了 60 次试验,试验的结果如下：
|朝上的点数|1|2|3|4|5|6|
|出现的次数|7|9|6|8|20|10|

(1)计算“3 点朝上”的频率和“5 点朝上”的频率；
(2)小颖说：“根据试验,一次试验中出现 5 点朝上的概率最大”；小红说：“如果抛掷 600 次,那么出现 6 点朝上的次数正好是 100 次.”小颖和小红的说法正确吗? 为什么?
(3)小颖和小红各抛掷一枚骰子,用列表的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为 3 的倍数的概率.

答案：
(1)“3点朝上”的频率：$6÷60=\frac{1}{10}$；“5点朝上”的频率：$20÷60=\frac{1}{3}$。
(2)小颖的说法错误，理由：频率是概率的估计值，质地均匀的骰子各点数朝上的概率相等（均为$\frac{1}{6}$），不能由频率直接得出概率最大；小红的说法错误，理由：频率估计概率时，抛掷600次，6点朝上的次数约为$600×\frac{10}{60}=100$次，但“正好”100次说法不准确，频率具有随机性。
(3)列表如下：
| 第一枚骰子\第二枚骰子 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-----------------------|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |
共有36种等可能结果，其中和为3的倍数的有12种，故概率为$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。