《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

1. 已知$\odot O的半径为R$,直线$l和\odot O$有公共点,若圆心到直线$l的距离是d$,则$d与R$的大小关系是(D)
A.$d ＞ R$
B.$d ＜ R$
C.$d\geq R$
D.$d\leq R$

答案： D

2. 已知$\odot O的直径为5$,直线$l与\odot O$相交,圆心$O到直线l的距离是d$,则$d$的取值范围是(D)
A.$4 ＜ d ＜ 5$
B.$d ＞ 5$
C.$2.5 ＜ d ＜ 5$
D.$0\leq d ＜ 2.5$

答案： D

3. 已知$\odot O的半径为5$,圆心$O到直线AB的距离为2$,则$\odot O上到直线AB的距离为3$的点的个数为(C)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： C

4. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O的半径为1$,则直线$y = - x + \sqrt{2}和\odot O$的位置关系是(C)

A.相离
B.相交
C.相切
D.以上三种情形都有可能

答案： C

5. 已知直线$l与\odot O$相切,若圆心$O到直线l的距离是5$,则$\odot O$的半径是5。

答案： 5

6. 如图,$\odot O的半径OC = 10cm$,直线$l\perp CO$,垂足为$H$,交$\odot O于A$,$B$两点,$AB = 16cm$,为使直线$l与\odot O$相切,则需把直线$l$向$C$点方向平移$4cm$。

答案： 向$C$点方向平移$4cm$（由于题目是填空形式的选择，这里按照要求只填选择的方向相关，本题可根据上述解析判断答案选项）假设选项中向$C$点方向平移$4cm$为选项内容对应的选项，答案选对应此内容的选项（若按常规选项设置，这里假设为D）。

7. 如图,给定一个半径为$2$的圆,圆心$O到水平直线l的距离为d$,即$OM = d$。我们把圆上到直线$l的距离等于1的点的个数记为m$。如$d = 0$时,$l为经过圆心O$的一条直线,此时圆上有四个到直线$l的距离等于1$的点,即$m = 4$。由此可知：(1)当$d = 3$时,$m = $____；(2)当$m = 2$时,$d$的取值范围是____。

(1)当$d = 3$时,$m = $1；(2)当$m = 2$时,$d$的取值范围是$-3＜d＜-1$或$1＜d＜3$。

答案： 【解析】：
（1）以直线$l$为x轴，垂足$M$为原点，圆心$O$坐标为$(0,d)$，圆方程为$x^2+(y-d)^2=4$。圆上到$l$距离为1的点满足$y=1$或$y=-1$。当$d=3$时，圆与$y=1$距离$|3-1|=2=r$，有1个交点；与$y=-1$距离$|3-(-1)|=4＞r$，无交点。故$m=1+0=1$。
（2）$m=2$即圆与$y=1$、$y=-1$交点总数为2。分两种情况：①$y=1$有2个交点（$|d-1|＜2\Rightarrow-1＜d＜3$）且$y=-1$无交点（$|d+1|＞2\Rightarrow d＞1或d＜-3$），交集$1＜d＜3$；②$y=-1$有2个交点（$|d+1|＜2\Rightarrow-3＜d＜1$）且$y=1$无交点（$|d-1|＞2\Rightarrow d＞3或d＜-1$），交集$-3＜d＜-1$。综上，$d$的范围是$-3＜d＜-1$或$1＜d＜3$。
【答案】：（1）1；（2）$-3＜d＜-1$或$1＜d＜3$

8. 如图,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$M为OB$上的一点,$OM = 5$,若以$M$为圆心,$2.5为半径画\odot M$,请通过计算说明$OA和\odot M$不相切。

答案： 过点M作MH⊥OA于点H。
在Rt△OMH中，∠AOB=60°，OM=5，
sin∠AOB=MH/OM，
MH=OM·sin60°=5×(√3/2)= (5√3)/2≈4.33。
∵⊙M的半径r=2.5，
又
∵4.33＞2.5，即MH＞r，
∴OA与⊙M不相切。

★9. 已知等边三角形$ABC的面积为3\sqrt{3}$,若以$A为圆心的圆和BC所在的直线l$：(1)没有公共点；(2)有唯一的公共点；(3)有两个公共点。求这三种情况下$\odot A的半径r$的取值范围。

答案：
(1) 设等边三角形 $ABC$ 的边长为 $a$，由面积公式 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 3\sqrt{3}$，解得 $a^2 = 12$，$a = 2\sqrt{3}$。
(2) 圆心 $A$ 到直线 $BC$ 的距离即等边三角形的高 $h$，$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{3} = 3$，故 $d = 3$。
(3) 直线与圆位置关系由 $d$ 与 $r$ 关系决定：
没有公共点：$d ＞ r$，即 $r ＜ 3$；
唯一公共点：$d = r$，即 $r = 3$；
两个公共点：$d ＜ r$，即 $r ＞ 3$。
(1) $r ＜ 3$；
(2) $r = 3$；
(3) $r ＞ 3$。