《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

4. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC和\mathrm{Rt}\triangle DEF$中,$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$,下列条件不能判定这两个三角形相似的是(C)
A.$\angle A = 55^{\circ}$,$\angle D = 35^{\circ}$
B.$AC = 9$,$BC = 12$,$DF = 6$,$EF = 8$
C.$AC = 3$,$BC = 4$,$DF = 6$,$DE = 8$
D.$AB = 10$,$BC = 6$,$DE = 15$,$EF = 9$

答案： C

5. 如图,在平面直角坐标系中有两点$A(4,0)$,$B(0,2)$,如果点$C在x$轴上($C与A$不重合),当点$C$的坐标为(1,0)或____(-1,0)时,使得由点$B$,$O$,$C组成的三角形与\triangle AOB$相似.(全等除外,填写出满足条件的点的坐标)

答案： (1,0)；(-1,0)

6. 如图,直线$y = -2x + 4与x$轴、$y轴分别相交于A$,$B$两点,$C为OB$上一点,且$\angle 1 = \angle 2$,则$S_{\triangle ABC} = $3.

答案： 1. 首先求$A$、$B$两点的坐标：
对于直线$y = - 2x + 4$，令$x = 0$，则$y=4$，所以$B(0,4)$，即$OB = 4$；
令$y = 0$，则$-2x + 4 = 0$，解得$x = 2$，所以$A(2,0)$，即$OA = 2$。
2. 因为$\angle 1=\angle 2$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle OAB+\angle 2 = 90^{\circ}$，$\angle ABC+\angle 1 = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle BAO$。
3. 又因为$\angle AOB=\angle COA = 90^{\circ}$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle AOB\sim\triangle COA$。
4. 由相似三角形的性质可知，对应边成比例，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OA}$。
已知$OA = 2$，$OB = 4$，代入$\frac{2}{OC}=\frac{4}{2}$，解得$OC = 1$，则$BC=OB - OC=4 - 1 = 3$。
5. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，在$\triangle ABC$中，以$BC$为底，$OA$为高，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× OA$。
把$BC = 3$，$OA = 2$代入得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$。
故答案为$3$。

7. 如图,已知$\angle ACB = \angle ADC = 90^{\circ}$,$AC = \sqrt{6}$,$AD = 2$,问当$AB$的长为多少时,这两个直角三角形相似?

答案： 3或$3\sqrt{2}$

8. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$CE$是外角的角平分线,点$D在AC$上,连接$BD并延长与CE交于点E$.

(1)求证：$\triangle ABD\backsim\triangle CED$；
(2)若$AB = 6$,$AD = 2CD$,求$BE$的长.

答案： 1. （1）证明$\triangle ABD\backsim\triangle CED$：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ACF=120^{\circ}$。
又因为$CE$是$\angle ACF$的平分线，所以$\angle ACE=\angle ECF = 60^{\circ}$，则$\angle A=\angle ACE$。
且$\angle ADB=\angle CDE$（对顶角相等）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABD\backsim\triangle CED$。
2. （2）求$BE$的长：
已知$AB = 6$，$AD = 2CD$，$AC=AB = 6$，则$AD = 4$，$CD = 2$。
由（1）知$\triangle ABD\backsim\triangle CED$，根据相似三角形的性质$\frac{AB}{CE}=\frac{AD}{CD}$。
把$AB = 6$，$AD = 4$，$CD = 2$代入$\frac{AB}{CE}=\frac{AD}{CD}$，即$\frac{6}{CE}=\frac{4}{2}$，解得$CE = 3$。
过点$B$作$BM\perp AC$于点$M$，因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 6$，所以$AM=\frac{1}{2}AC = 3$。
根据勾股定理$BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=3\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$（这里$BD$可先求：在$Rt\triangle BMD$中，$MD=AD - AM=4 - 3 = 1$，$BD=\sqrt{BM^{2}+MD^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{27 + 1}=2\sqrt{7}$）。
由$\triangle ABD\backsim\triangle CED$得$\frac{BD}{DE}=\frac{AD}{CD}=2$，所以$BD = 2\sqrt{7}$，$DE=\sqrt{7}$。
所以$BE=BD + DE=2\sqrt{7}+\sqrt{7}=3\sqrt{7}$。
综上，（1）已证$\triangle ABD\backsim\triangle CED$；（2）$BE$的长为$3\sqrt{7}$。

★9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 1$,点$D$,$E在直线BC$上运动,点$D在线段BC$的左侧,点$E在线段BC$的右侧. 设$BD = x$,$CE = y$.

(1)如果$\angle BAC = 30^{\circ}$,$\angle DAE = 105^{\circ}$,试确定$y与x$之间的函数关系式；
(2)如果$\angle BAC的度数为\alpha$,$\angle DAE的度数为\beta$,当$\alpha$,$\beta$满足怎样的关系式时,(1)中的$y与x$之间的函数关系式还成立? 试说明理由.

答案： 1. （1）
解：
因为$AB = AC = 1$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 75^{\circ}$。
则$\angle ABD=\angle ACE = 105^{\circ}$。
又因为$\angle DAE = 105^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，所以$\angle DAB+\angle CAE=\angle DAE-\angle BAC = 75^{\circ}$。
而$\angle DAB+\angle ADB=\angle ABC = 75^{\circ}$，所以$\angle CAE=\angle ADB$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ECA$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle ACE\\\angle ADB=\angle CAE\end{array}\right.$，所以$\triangle ABD\sim\triangle ECA$。
根据相似三角形的性质$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CA}$，已知$AB = AC = 1$，$BD = x$，$CE = y$，则$\frac{1}{y}=\frac{x}{1}$，即$y=\frac{1}{x}(x\gt0)$。
2. （2）
解：
当$\beta-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}$时，$y = \frac{1}{x}$成立。
理由如下：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，则$\angle ABD=\angle ACE = 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$。
因为$\angle DAE=\beta$，$\angle BAC=\alpha$，所以$\angle DAB+\angle CAE=\beta - \alpha$。
又$\angle DAB+\angle ADB=\angle ABC = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
当$\beta-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}$，即$\beta - \alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$时，$\angle CAE=\angle ADB$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ECA$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle ACE\\\angle ADB=\angle CAE\end{array}\right.$，所以$\triangle ABD\sim\triangle ECA$。
由相似三角形的性质$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CA}$，因为$AB = AC = 1$，$BD = x$，$CE = y$，可得$\frac{1}{y}=\frac{x}{1}$，即$y=\frac{1}{x}(x\gt0)$。
综上，（1）$y=\frac{1}{x}(x\gt0)$；（2）当$\beta-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}$时，$y = \frac{1}{x}$成立。