《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

7. 如图,一根 $ 2 m $ 长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域。

答案： 羊的一端拴在点 $O$ 处，绳子长度为 $2 m$。
以点 $O$ 为圆心，$2 m$ 为半径，画一个四分之三的圆（因为墙会阻挡羊向墙的背面移动，所以只能画四分之三圆）。
所以羊的活动区域是一个以点 $O$ 为圆心，$2 m$ 为半径的四分之三圆所覆盖的区域。

8. 如图,$ \triangle ABC_1 $,$ \triangle ABC_2 $,$ \triangle ABC_3 $,……$$ $ \triangle ABC_n $ 是 $ n $ 个以 $ AB $ 为斜边的直角三角形,试判断点 $ C_1 $,$ C_2 $,$ C_3 $,…$$,$ C_n $ 是否在同一个圆上？并说明理由。

答案： 答：点$C_1$，$C_2$，$C_3$，$\ldots$，$C_n$在同一个圆上。
理由：
取$AB$的中点$O$，连接$OC_1$，$OC_2$。
在$Rt\triangle ABC_1$中，$O$为$AB$中点，则$OC_1 = \frac{1}{2}AB$。
在$Rt\triangle ABC_2$中，$O$为$AB$中点，则$OC_2 = \frac{1}{2}AB$。
同理$OC_3=\cdots=OC_n = \frac{1}{2}AB$。
所以$OC_1 = OC_2=OC_3=\cdots=OC_n$。
故点$C_1$，$C_2$，$C_3$，$\ldots$，$C_n$在以$O$为圆心，$\frac{1}{2}AB$为半径的圆上。

9. 如图,$ M $,$ N $,$ P $,$ Q $ 分别是菱形 $ ABCD $ 各边的中点,点 $ M $,$ N $,$ P $,$ Q $ 在同一个圆上吗？为什么？

答案： M，N，P，Q在同一个圆上。理由如下：
连接菱形ABCD的对角线AC，BD，设交点为O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且O为AC，BD中点（菱形对角线互相垂直平分）。
∵M，N，P，Q分别为AD，AB，BC，CD中点，
在Rt△AOD中，M为AD中点，
∴OM=1/2AD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）；
同理，在Rt△AOB中，ON=1/2AB；在Rt△BOC中，OP=1/2BC；在Rt△COD中，OQ=1/2CD。
∵菱形ABCD四边相等，即AD=AB=BC=CD，
∴OM=ON=OP=OQ。
∴M，N，P，Q四点到点O的距离相等，故四点在以O为圆心，OM为半径的圆上。
结论：M，N，P，Q在同一个圆上。

★10. 如图,点 $ A $,$ D $,$ G $,$ M $ 在半圆 $ O $ 上,四边形 $ ABOC $,$ DEOF $,$ HMNO $ 均为矩形。设 $ BC = a $,$ EF = b $,$ NH = c $,则 $ a $,$ b $,$ c $ 之间有什么关系？

答案： 连接OA、OD、OM，设半圆O的半径为R。
1. 在矩形ABOC中：
四边形ABOC为矩形，BC为其对角线。点A在半圆O上，故OA=R。
矩形对角线相等，BC=OA，即$a=R$。
2. 在矩形DEOF中：
四边形DEOF为矩形，EF为其对角线。点D在半圆O上，故OD=R。
矩形对角线相等，EF=OD，即$b=R$。
3. 在矩形HMNO中：
四边形HMNO为矩形，NH为其对角线。点M在半圆O上，故OM=R。
矩形对角线相等，NH=OM，即$c=R$。
综上，$a=b=c$。
$a=b=c$

11. 如图,已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ C $ 为 $ AB $ 延长线上的一点,$ CE $ 交 $ \odot O $ 于点 $ D $,且 $ CD = OA $,求证：$ \angle C = \dfrac{1}{3} \angle AOE $。

答案： 证明：
连接 $ OD $，
∵ $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ OA $ 是半径，
∴ $ OA = OD = OE $（同圆半径相等）。
∵ $ CD = OA $，
∴ $ CD = OD $，则 $ \triangle CDO $ 为等腰三角形，
∴ $ \angle DOC = \angle C $（等腰三角形两底角相等）。
设 $ \angle C = x $，则 $ \angle DOC = x $。
∵ $ \angle ODE $ 是 $ \triangle CDO $ 的外角，
∴ $ \angle ODE = \angle C + \angle DOC = x + x = 2x $（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
∵ $ OD = OE $（同圆半径相等），
∴ $ \triangle ODE $ 为等腰三角形，
∴ $ \angle OED = \angle ODE = 2x $（等腰三角形两底角相等）。
在 $ \triangle OCE $ 中，
$ \angle EOC = 180° - \angle C - \angle OEC = 180° - x - 2x = 180° - 3x $（三角形内角和为 $ 180° $）。
∵ $ A, O, C $ 三点共线，
∴ $ \angle AOE + \angle EOC = 180° $（平角定义），
∴ $ \angle AOE = 180° - \angle EOC = 180° - (180° - 3x) = 3x $。
∵ $ \angle C = x $，
∴ $ \angle C = \frac{1}{3}\angle AOE $。
即证 $ \angle C = \frac{1}{3}\angle AOE $。