《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

7. 某种电脑病毒传播非常快,若一台电脑被感染,则经过2轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析,每轮感染中平均每一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台？

答案： 设每轮感染中平均每一台电脑会感染$x$台电脑。
1. 求每轮感染的电脑台数：
第一轮感染后，被感染电脑数量为$1 + x$；
第二轮感染后，被感染电脑数量为$(1 + x) + (1 + x)x = (1 + x)^2$。
依题意，$(1 + x)^2 = 81$，
解得$1 + x = 9$（$1 + x = -9$舍去，不合题意），
故$x = 8$。
2. 判断3轮感染后是否超过700台：
3轮感染后，被感染电脑数量为$(1 + x)^3 = 9^3 = 729$。
因为$729 ＞ 700$，所以会超过。
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。

★8. “低碳生活,绿色出行”,自行车已成为人们喜爱的交通工具。某商城的自行车销售量逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆。
(1)若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同,则该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种型号的自行车,已知A型自行车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型自行车的进价为1000元/辆,售价为1300元/辆。根据销售经验,A型自行车不少于B型自行车的2倍,但不超过B型自行车的2.8倍。假设所进自行车全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货？

答案：
(1)
设月平均增长率为$x$，根据题意得$64(1 + x)^{2}=100$，
即$(1 + x)^{2}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$，
开平方得$1 + x=\pm\frac{5}{4}$，
解得$x_{1}=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}=0.25 = 25\%$，$x_{2}=-\frac{5}{4}-1$（不合题意，舍去）。
所以4月份卖出自行车的数量为$100×(1 + 0.25)=125$（辆）。
(2)
设购进B型自行车$m$辆，A型自行车$\frac{30000 - 1000m}{500}=(60 - 2m)$辆，
根据题意得$\begin{cases}60 - 2m\geqslant2m\\60 - 2m\leqslant2.8m\end{cases}$，
解第一个不等式$60 - 2m\geqslant2m$，得$4m\leqslant60$，$m\leqslant15$；
解第二个不等式$60 - 2m\leqslant2.8m$，得$4.8m\geqslant60$，$m\geqslant\frac{25}{2}=12.5$。
所以$12.5\leqslant m\leqslant15$，因$m$为整数，所以$m = 13$，$14$，$15$。
设总利润为$W$元，$W=(700 - 500)(60 - 2m)+(1300 - 1000)m$
$=200(60 - 2m)+300m$
$=12000 - 400m+300m$
$=12000 - 100m$。
因为$-100\lt0$，$W$随$m$的增大而减小，
所以当$m = 13$时，$W$有最大值，此时$60 - 2m=60 - 2×13 = 34$。
答：
(1)该商城4月份卖出125辆自行车；
(2)为使利润最大，该商城应购进A型自行车34辆，B型自行车13辆。

1. 同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样,一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型.

答案： 一元二次方程 数学模型

2. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈. 问户高、广各几何. ”大意是说：已知矩形门的高比宽多6 尺 8 寸,如果门的对角线长 1 丈,那么门的高和宽各是多少？(尺、寸、丈不是法定计量单位,1 丈= 10 尺,1 尺= 10 寸,1 米= 3 尺)

答案： 设门的宽为 $x$ 尺，则门的高为 $x + 6.8$ 尺（因为高比宽多6尺8寸，即6.8尺）。
根据勾股定理，门的对角线长 $d$ 与高和宽的关系为：
$d^2 = x^2 + (x + 6.8)^2$，
题目给出对角线长 $d = 10$ 尺（1丈=10尺），代入上式得：
$100 = x^2 + (x + 6.8)^2$，
展开并整理得：
$100 = x^2 + x^2 + 13.6x + 46.24$，
$2x^2 + 13.6x - 53.76 = 0$，
$x^2 + 6.8x - 26.88 = 0$，
通过求解此一元二次方程，得到：
$x = \frac{-6.8 \pm \sqrt{6.8^2 - 4 × 1 × (-26.88)}}{2 × 1}$，
$x = \frac{-6.8 \pm \sqrt{46.24 + 107.52}}{2}$，
$x = \frac{-6.8 \pm \sqrt{153.76}}{2}$，
$x = \frac{-6.8 \pm 12.4}{2}$，
得到两个解：
$x_1 = \frac{-6.8 + 12.4}{2} = 2.8$，
$x_2 = \frac{-6.8 - 12.4}{2} = -9.6$（由于宽为正数，所以此解不符合实际情况，舍去），
所以，门的宽为 $x = 2.8$ 尺，门的高为 $x + 6.8 = 9.6$ 尺。
答：门的高为9.6尺，宽为2.8尺。