《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

4. 如图,$AB$,$CD是\odot O$的直径,若弦$DE// AB$,则弦$AC与AE$的大小关系为AC=AE.

答案： AC=AE

5. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC$是弦,过$\overset{\frown}{AC}的中点P作弦PQ\perp AB$,交$\odot O于点Q$,交$AB于点D$,求证：$PQ = AC$.

答案： 证明：
1. 连接 $ OP $、$ OA $、$ OC $、$ OQ $。
2. 因为 $ P $ 是 $ \overset{\frown}{AC} $ 的中点，所以 $ \overset{\frown}{AP} = \overset{\frown}{PC} $，故 $ \angle AOP = \angle COP = \alpha $，则 $ \angle AOC = \angle AOP + \angle COP = 2\alpha $。
3. 因为 $ PQ \perp AB $，由垂径定理得 $ AB $ 平分 $ PQ $，即 $ PQ = 2PD $，且 $ \angle POD = \angle QOD = \theta $。
4. 在 $ Rt\triangle OPD $ 中，$ PD = OP \cdot \sin\theta = R\sin\theta $（$ R $ 为 $ \odot O $ 半径），故 $ PQ = 2PD = 2R\sin\theta $。
5. 作 $ OH \perp AC $ 于 $ H $，由垂径定理得 $ AH = \frac{1}{2}AC $。又 $ \angle AOC = 2\alpha $，则 $ \angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOC = \alpha $。
6. 在 $ Rt\triangle AOH $ 中，$ AH = OA \cdot \sin\alpha = R\sin\alpha $，故 $ AC = 2AH = 2R\sin\alpha $。
7. 在 $ Rt\triangle OPD $ 中，$ OD = OP \cdot \cos\theta = R\cos\theta $；又 $ OD = OP \cdot \cos\alpha = R\cos\alpha $（$ OD $ 为 $ OP $ 在 $ AB $ 上的射影），故 $ \cos\theta = \cos\alpha $。
8. 因为 $ \theta $、$ \alpha $ 均为锐角，所以 $ \theta = \alpha $，则 $ PQ = 2R\sin\theta = 2R\sin\alpha $。
9. 综上，$ PQ = AC $。
结论：$ PQ = AC $。

6. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,$M$,$N分别是AO$,$BO$的中点,$CM\perp AB$,$DN\perp AB$,求证：$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{DB}$.

答案： 证明：连接OC，OD。
∵AB是⊙O的直径，
∴AO=BO=OC=OD。
∵M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM=1/2AO，ON=1/2BO，
∴OM=ON。
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO=∠DNO=90°。
在Rt△CMO和Rt△DNO中，
OC=OD，OM=ON，
∴Rt△CMO≌Rt△DNO（HL）。
∴∠COM=∠DON。
∴$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{DB}$。

★7. 如图,在$□ ABCD$中,以$A$为圆心,$AB为半径作圆交AD于点F$,交$BC于点G$,$BA的延长线交圆A于点E$,求证：$\overset{\frown}{EF}= \overset{\frown}{FG}$.

答案： 证明：
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$。
2. 由于$A$为圆心，$AB$为半径，所以$AE = AF = AG = AB$（半径相等）。
3. 因为$AD// BC$，所以$\angle FAG=\angle AGB$（内错角相等）。
4. 因为$AB = AG$，所以$\triangle ABG$是等腰三角形，故$\angle ABG=\angle AGB$。
5. 因为$AD// BC$，所以$\angle EAD=\angle ABG$（同位角相等）。
6. 由步骤3和步骤4可得$\angle FAG = \angle ABG$，结合步骤5可知$\angle EAD=\angle FAG$，即$\angle EAF=\angle FAG$。
7. 在$\odot A$中，因为$\angle EAF = \angle FAG$，所以$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$（同圆中相等的圆心角所对的弧相等）。
综上，$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。

8. 如图,$AB$,$AC$,$BC都是\odot O$的弦,$\angle AOC= \angle BOC$.
(1)$\angle ABC与\angle BAC$相等吗？为什么？
(2)$OC与AB$有什么关系？并证明.

答案：
(1)相等。
∵∠AOC=∠BOC，
∴弧AC=弧BC（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
∴∠ABC=∠BAC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）。
(2)OC垂直平分AB。
证明：
∵OA=OB，∠AOC=∠BOC，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SAS）。
∴AC=BC，∠ACO=∠BCO。
∴OC垂直平分AB（等腰三角形三线合一）。