《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

6. 如图,已知$E是四边形ABCD的对角线BD$上的一点,且$\frac{AB}{AE}= \frac{AC}{AD}$,$\angle 1 = \angle 2$.求证：$\angle ABC= \angle AED$.

答案： 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD。
∵$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，且∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠ABC=∠AED（相似三角形对应角相等）。

7. 如图,在$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$中,$BE$,$B'E'分别是\triangle ABC$,$\triangle A'B'C'$的中线,且$\frac{BC}{B'C'}= \frac{BE}{B'E'}= \frac{AC}{A'C'}$.求证：$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$.

答案： 证明：
∵BE，B'E'是中线，
∴E，E'分别为AC，A'C'中点，
∴EC=1/2AC，E'C'=1/2A'C'。
设BC/B'C'=BE/B'E'=AC/A'C'=k，则AC=kA'C'，BC=kB'C'，BE=kB'E'。
∴EC=1/2AC=k/2A'C'，E'C'=1/2A'C'，
∴EC/E'C'=k。
在△BEC和△B'E'C'中，BC/B'C'=BE/B'E'=EC/E'C'=k，
∴△BEC∽△B'E'C'（SSS），
∴∠C=∠C'。
在△ABC和△A'B'C'中，AC/A'C'=BC/B'C'=k，∠C=∠C'，
∴△ABC∽△A'B'C'（SAS）。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8\ cm$,$BC = 16\ cm$,点$P从点A出发沿AB边向点B以2\ cm/s$的速度移动,点$Q从点B出发沿BC边向点C以4\ cm/s$的速度移动(有一点到达后即停止移动),如果点$P$,$Q$同时出发,经过几秒后$\triangle BPQ与\triangle ABC$相似？

答案： $0.8$秒或$2$秒。