《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

8. 如图,已知函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象上的点 $ D $,$ C $ 与 $ x $ 轴上的点 $ A(-5,0) $ 和点 $ B(3,0) $ 构成平行四边形 $ ABCD $,$ DC $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ E(0,6) $,试求 $ a $ 的值。

答案： 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC且AB//DC。
点A(-5,0)，B(3,0)，则AB的长度为$3 - (-5) = 8$，且AB在x轴上，故DC平行于x轴，D、C两点纵坐标相同。
DC与y轴交于E(0,6)，则DC上所有点纵坐标为6，即D、C纵坐标均为6。设D(x₁,6)，C(x₂,6)。
二次函数$y=ax²$图象关于y轴对称，D、C在抛物线上且纵坐标相同，故D、C横坐标互为相反数，设D(-m,6)，C(m,6)(m＞0)。
DC长度为$m - (-m) = 2m$，由AB=DC得$2m=8$，解得$m=4$。
因此D(-4,6)，代入$y=ax²$得$6=a(-4)²$，即$16a=6$，解得$a=\frac{3}{8}$。
$a=\frac{3}{8}$

9. 如图,直线 $ l $ 经过 $ A(4,0) $ 和 $ B(0,4) $ 两点,它与抛物线 $ y = ax^{2} $ 在第一象限内相交于点 $ P $。已知 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 4 $,求 $ a $ 的值。

答案： 1. 求直线$ l $的解析式：设直线$ l $为$ y=kx+b $，将$ A(4,0) $、$ B(0,4) $代入得$\begin{cases}0=4k+b\\4=b\end{cases}$，解得$ k=-1 $，$ b=4 $，故直线$ l $：$ y=-x+4 $。
2. 求点$ P $的纵坐标：$\triangle AOP$面积为4，$ OA=4 $，设$ P(x,y) $，则$\frac{1}{2}×4× y=4$，解得$ y=2 $。
3. 求点$ P $的横坐标：将$ y=2 $代入$ y=-x+4 $，得$ 2=-x+4 $，解得$ x=2 $，故$ P(2,2) $。
4. 求$ a $的值：将$ P(2,2) $代入$ y=ax^2 $，得$ 2=a×2^2 $，解得$ a=\frac{1}{2} $。
$ a=\frac{1}{2} $

1. 一般地,抛物线 $ y = ax^2 + k (a \neq 0) $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状相同,把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上或向下平移,可以得到抛物线 $ y = ax^2 + k $。抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的顶点坐标是(0,k),对称轴是y轴（或直线x=0）,当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线开口向上,顶点是它的最低点,在对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线开口向下,顶点是它的最高点,在对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 相同；(0,k)；y轴（或直线x=0）；上；低；减小；增大；下；高；增大；减小

2. 如果将抛物线 $ y = x^2 $ 向上平移 3 个单位长度,那么所得到的新抛物线的解析式是$ y = x^2 + 3 $。

答案： $ y = x^2 + 3 $

3. 函数 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + 3 $ 图象的开口向下,顶点坐标为(0,3),对称轴为y轴,与 $ x $ 轴的交点坐标为(-3,0)，(3,0)。

答案： 下；(0,3)；y轴；(-3,0)，(3,0)